主要内容

课程: 代数2 > 单元 8

课程 1: 对数简介

对数简介

Google课堂

学习什么是对数以及如何求出它们的值。

在学习本课之前你需要熟悉的概念

您应当熟悉指数的概念，最好包括负指数。

本课内容

您将学到对数的概念，以及如何计算简单的对数。这些内容将为您今后学习对数表达式和函数打下基础。

对数是什么?

换一个角度来理解指数，就得到了对数。

比如我们知道，

2

的

四 次 方

是

16

。这个事实的指数表达式为

2^{4} = 16

。

假如有人问我们：“

2

的几次方是

16

？“ 答案是

4

。这个事实要用对数表达式来表示：

\log_{2} (16) = 4

，读成“以2为底16的对数是4”。

2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4

两个表达式描述的都是

2

4

, and

16

之间的指数关系，其中

2

是底数，而

4

为对数。

它们的区别在于指数表达式求的是幂，

16

，而对数表达式求的是指数，

4

。

下面的例子列出了一些对数表达式和与其对等的指数表达式。

对数形式		指数形式
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

对数的定义

对以上的例子进行归纳，就得到了对数的标准定义。

\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a

这两个等式是

a

b

, 和

c

之间的关系的两种描述形式：

$b$ ‍ 是 $底数$ ‍,
$c$ ‍是 $指数或者对数$ ‍,
$a$ ‍是 $幂或者真数$ ‍.

提示

在将指数表达式转换为对数形式，或者将对数表达式转换为指数形式的时候，对数的底数和指数的底数是相同的。

看看你的知识掌握地如何

在下列练习中，请在指数和对数表达式之间进行转换。

问题1

以下哪个表达式等价于 $2^{5} = 32$ ‍?

问题2

以下哪个表达式等价于 $5^{3} = 125$ ‍?

问题3

将 $\log_{2} (64) = 6$ ‍改写为指数形式。

问题 4

4) 将 $\log_{4} (16) = 2$ ‍改写为指数形式。

对数的计算

太好了！我们已经掌握了指数和对数的关系，接下来让我们来看看如何计算对数。

比如计算

\log_{4} (64)

的值。

首先把表达式的值设定为

x

。

\log_{4} (64) = x

转换成指数形式，得到：

4^{x} = 64

4

的几次方是

64

呢？我们知道，

4^{3} = 64

，所以

\log_{4} (64) = 3

。

当你更加熟练的时候，就可以把以上的步骤合并成一步，在计算

\log_{4} (64)

的时候直接问自己，" $4$ ‍的几次方是 $64$ ‍?"

看看你的知识掌握地如何

记住，当计算

\log_{b} (a)

的时候，你要问的是："

b

的几次方是

a

问题5

\log_{6} (36) =

问题6

\log_{3} (27) =

问题7

\log_{4} (4) =

问题 8

\log_{5} (1) =

挑战题

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

对变量值的限制

当底数

b

为正—而且不等于

1

—并且真数

a

为正时，

\log_{b} (a)

是有意义的。这些限制来自于对数和指数之间的关系。

限制	理由
$b > 0$ ‍	在指数表达式中，底数 $b$ ‍必须是正数。
$a > 0$ ‍	$\log_{b} (a) = c$ ‍ 意味着 $b^{c} = a$ ‍. 因为正数的任何次幂都为正，所以 $b^{c} > 0$ ‍, 也就是说 $a > 0$ ‍.
$b \neq 1$ ‍	假设 $b$ ‍ 可以为 $1$ ‍. 那么对于等式 $\log_{1} (3) = x$ ‍，其对应的指数表达式为 $1^{x} = 3$ ‍。但是 $1$ ‍的任何次方都是 $1$ ‍，这个表达式不能成立。因此 $b \neq 1$ ‍.

特殊算法

对数的底数可以有很多不同的值，但是有两个底数是最常用的。

大多数计算器都设有专门的按键，用于计算基于这两个底数的对数。我们来看看这两个底数是什么。

常用对数

常用对数 的底数是

10

("底数为

10

的对数").

在运算中写这种对数的时候，不需要写出底数。底数的默认值就是

10

。

\log_{10} (x) = \log (x)

自然对数

自然对数的底数是

e

("底数为

e

的对数").

我们在写自然对数的时候也不写

e

这个底数，而是把对数符号写为

\ln

。

\log_{e} (x) = \ln (x)

下面的列表总结了有关这两个特殊的对数的知识：

名字	底数	规范写法	特殊写法
常用对数	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
自然对数	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

虽然写法不同，对数运算的概念却是完全一样的！

为什么要学习对数?

正如您刚才学到的，对数是指数的逆运算。因为这个原因，对数在求解指数方程的时候非常有用。

比如，

2^{x} = 5

的解可以用对数来表示，

x = \log_{2} (5)

。在接下来的课程中您将学习如何求解这个表达式。

对数表达式和函数本身也很有趣，而且在我们的生活中十分常见。比如，很多物理现象是用对数标尺来衡量的。

下一步是什么?

根据对数的特征，将对数表达式进行等价变形；学习改变底数的法则，由此用计算器计算任何底数的对数。

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对数简介

在学习本课之前你需要熟悉的概念

本课内容

对数是什么?

对数的定义

提示

看看你的知识掌握地如何

对数的计算

看看你的知识掌握地如何

对变量值的限制

特殊算法

常用对数

自然对数

例一

解1

例二

解2

为什么要学习对数?

下一步是什么?

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