本福特定律（与 Vi Hart 一起，下部）

SAL：上期视频的最后 我和 Vi 给你留下了悬念 我们讲了本福特定律 VI：问该定律该如何证明？ SAL：如果国家都是随机的 看它们的人口量和出现最多的数字 画出人口首位数分布 最多的是 1， 然后是 2 再来是3，你会发现首位为 1 的可能性要大的多 宇宙中的物理常数 首位是 1 的可能性 也最大 VI：希望有更多图表，这样比较有趣 SAL：嗯 VI：如果你看证券市场的信息 会发现什么？ SAL：对 看起来都符合这个曲线 神奇的是 在上个视频结束前 发现了完全符合的现象 像是斐波那契数列 2 的次方，它们完全符合 本福特定律 完全符合 如果你得到 2^n 的所有結果 有超過 30% 的結果的首位 是 1 多少？ 17？ 首位是 2 的 约占 17% VI：对 因为这里的数字有无限多 所以很难画图 SAL：但如果你想试的话 可以求出前 100 万个答案 然后计算百分比 可能会更精准 一些 VI：对 对我来说这不算神奇 一方面惊异于它的结果完全符合数学 但这也让你了解到 有些东西已经存在了 我们只是去发现它们 SAL：你发现之后 就会深入探索 在上期视频中 我们希望你暂停，然后自己思考 因为我们自己过去也这么做 当我们看对数尺的时候 会发现端倪 我们看这里 这样解释更加清楚 这个对数尺上的每个间隔都相同 都是以 10 为底 所以在线性尺度，这里是 1 这里是 2，再来是 3 如果这里是 2，那么 这里就是1，这里是 10， 这里是20 然后就是 30，以此类推 但在对数尺中，间隔的大小都是10 为底的对数 如果我们取 10 的次方 这里是1：10，10:100，再来是100:1000 可以看到中间数字的分布 1 和 2 之间的间隔很大 2 和 3 之间的间隔也很大，但较小一些 3 和 4 之间的间隔更小 直到达到 10 这对于本福特定律来说 是个很大的线索 VI：是的 看起来可以对得上 这之间有联系 SAL：这其实是个非常好的线索 如果你把这一块看作 整块的一部分 它刚好占这个百分比 刚好是这边的百分比 如果把这一块看作整体的一部分 它的百分比数就约等于 17% 这些部分也可以 所以这是条很大的线索 VI：没错，至少对 2 的次方 或是斐波那契数列有效 完全说得通 SAL：对任何幂都一样 所以背后的逻辑是 在对数尺上 画出 2 的次方 VI：好的，我们来看它们落在何处 SAL：好，我们来试试 2 的 0 次方是 1 2 的 1 次方是 2 然后是 4 然后是 8 再来是 16 是在这里附近的某个点 接着是 32 是在这里附近的某个点 这里是 30，所以这里是 32 再来是 64 这里是40、50、60 64 在这里 可以看到，当你在对数尺上 标出 2 的次方时，它们的间距相同 我们继续 如果你在线性尺度上画 它们会分得越来越开 VI：没错 SAL：准确来说，每次都是两倍 但在这里，它们的间距相同 如果在这个图上 有间距相同的点 可以想象你在步行 人行道就像是对数尺一样 当你走的步数越来越多 并将所有步数都记下来时 更多的脚步 会落在 1 和 2 之间 或 10 和 20 之间 大于像是 9 和 10 之间 VI：是的，如果你在这里选取随机的点 更可能会落在在第一个区块 SAL：是的 在 1 和 2 之间或 10 和 20 之间 或 100 和… VI：所以走均匀的步伐 就会产生如此的分布，除非你… 因为有特殊情况，对吧？ 如果你… SAL：以对数的方式走 【笑】 VI：对，如果你从 1 走到 10… SAL：是的 特殊情况才会这样 VI：所以这就是背后的道理 SAL：如果你的步伐有 10 那么长 VI：你就会刚好【无声】 SAL：是的 如果你走的是 正常的步伐，那么 就会得到如此的分布 VI：对 你的脚步会分散在各处 SAL：也就是本福特分布 VI：本福特分布 SAL：尽管能够解释了 我还是觉得很神奇 VI：是啊 以上解释了这些连续数字 SAL：对 VI：现在我们知道了 如何将这个和真实世界的资料联系在一起 SAL：对于人口来说 我们已经看到 符合本福特分布 也符合指数增长的事物 VI：对 SAL：像是 2 的次方 VI：像是 2 的次方 SAL：像是 2 的次方 人口也是指数型增长 VI：是的 在金融领域，很多事情也是指数增长 SAL：是的 或指数下降 两个方向都可以 【笑】 SAL：确实会这样 你可以每年增长 10% 这就是指数增长 物理常数比较神奇 我们也不能百分百确定为什么会这样 VI：不能确定 对我来说依旧很神奇 SAL：现在只有理论 但你知道 物理常数跟你选的单位 有很大关系 它们的限制条件多 现在我们的证明还不够严谨 我希望大家都能够去思考 VI：好的 SAL：怎么样？ 希望你能有所启发