本福特定律（与 Vi Hart 一起，上部）

SAL KHAN：很开心 Vi Hart 能莅临这里 我们在今天早些时候 交谈了有关数学的内容 她提到了一个有趣的概念 VI HART：是的，我在跟Sal 讨论 一个叫 “本福特定律” 的东西 SAL KHAN：本福特定律 什么是本福特定律？ VI HART：这个定律描述了一个奇怪的现象 当你观察真实世界中的数字时 例如，这里有一些图表 如果你观察所有国家的人口 其中某个国家的人口数 它的首位数是多少呢？ 是一百万？一千？还是十万？ 好的，我们来看首位为 1 的吧 我们把首位为1 的国家找出来 结果发现有27个 SAL KHAN：是的，大约27个 任何人口数的首位为 1 的国家 所以可以是人口只有 1 的国家 也可以是 17 或 10 亿 1 亿，等等 它们都会落到这个区间 VI HART：是的 如果首位为 2 就会落到第二个区间，以此类推 SAL KHAN：这个颜色好 嗯，继续 VI HART：是的，这个颜色更好 SAL KHAN：对 VI HART：这不错 SAL KHA：蓝色对比度更强 VI HART：所以问题是 你觉得这些数字是随机的 SAL KHAN：是的 第一个数字是随机的 VI HART：是的 这些国家的人口差异非常大 有些有几亿，有些只有 我不知道人口最少是多少 SAL KHAN： 嗯 像是黑山之类的吧 VI HART：是的 那么 SAL KHAN：黑山不是一个国家 我刚才要说什么？ 蓝色海岸的人口是多少？ 我们可以忽略不计 【笑】 VI HART：我不知道 我希望看到的是 国家的人口 SAL KHAN：梵蒂冈应该是最小的国家 VI HART：是的 这也算吗？ 我猜… SAL KHAN：我觉得梵蒂冈算 他们有自己的…对 VI HART：我不知道确切的条件 是什么【无声】 SAL KHAN: 我会把梵蒂冈算进来 它应该有几千人口吧 VI HART：是的 那为什么会这样呢？ 为什么首位为 1 的 比 2 的要多？ 这其中有什么规律吗？ SAL KHAN：是啊 这并不是偶然 过去，我们讨论了 奇数地址比偶数地址多 的可能性要高 的概念 VI HART：是的，我最近刚学 这很有说服力 SAL KHAN：是的，因为每栋房子 上有数字 1，或是 10 VI HART：没错，每条街，如果 这条街上的房子为房子 1，房子 2 房子 3，如果房子的总数量为奇数 那么这条街上奇数的房子要比偶数的多 SAL KHAN：没错 如果总数为偶数，那么奇偶数的房子一样多 VI HART：没错 SAL KHAN：是的 VI HART：但首位为 1，是奇数 但是这里，人口数的首位不是 1 SAL KHAN：确实 我们讨论的街道现象 不是极端现象 有 50% 的几率，有时是 0 具有奇数编号的房子，或首位为 1 的房子比其他编号的更多 VI HART：是的 SAL KHAN：没错 但对于随机的国家人口而言 首位为 1 的人口数量 要比首位为 8 或 9 的 来得高 这有些奇怪 VI HART：对 但这也并不局限于国家 你也可以看金融领域 像是公司赚了多少钱 SAL KHAN：是的 1 作为首位的概率非常高 VI HART：是的，非常高 这里有另一张图 非常令人震惊 这是物理常数的首位数字 那么有哪些例子呢 SAL KHAN：我的例子是 物理常数像是 引力常数 和普朗克常数 这对我来说有些不寻常 因为它取决于你用的单位 取决于很多条件 这点你必须要清楚 但即使你用了随机的物理常数 我假定已经这么做了 这些物理常数中出现最多的 依然是 1 基本上完全符合本福特定律 这让你细思极恐吧 VI HART：真的 所以这里的挑战是…顺带一提 本福特是个戴眼镜的人 SAL KHAN：噢对 是的，你可能会想 这些不是 这些是 VI HART：他们不都是本福特 SAL KHAN：不是本福特刮胡前和刮胡后 不是 这位是本福特 这个定律明显是以他命名的 我们来看这位先生 VI HART：这位没有胡子的先生是西门·紐康 SAL KHAN：西门·紐康 VI HART：不是毁灭公爵 SAL KHAN：不是毁灭公爵 我们把他放在这里是因为 他是第一个说出这个概念的人 他没有说是本福特定律 VI HART：他的胡子更好 SAL KHAN：是的 他的颜值也更高 至少跟我比起来 这个人看起来像哈里·S·杜鲁门 可能就是哈里 我不知道 可能我找错照片了吧 无论如何 VI HART：这是什么样的情况？ 如果你有这些随机资料 看到一些波动 就像在国家中 SAL KHAN：很接近 这条曲线 VI HART：我们的样本数也很小 我是说… SAL KHAN：对 VI HART：你只有… SAL KHAN：200 个左右 的国家 VI HART：对 SAL KHAN：上升了 50… VI HART：没有完全符合 SAL KHAN：在苏联解体之后 但没错，国家的数量不够多 说到物理常数 我也不知道他们随机取了几个 但和本福特曲线非常接近 但也有更简单的方式去研究 VI HART：没错 我么看另一个图 纯粹的本福特定律 SAL KHAN：纯粹的本福特定律 这条曲线可以 符合和其他数据的规律 神奇的是 我们用这种纯粹的数学模型 像是 2 的次方，或… VI HART：或是斐波那契数列 你可以想想斐波那契数列 你把这些都加起来 SAL KHAN：然后取首位 VI HART：就取首位 SAL KHAN：然后放到这里 就会完全符合本福特定律 没有任何偏差 完全… VI HART：是的，在数学上【无声】 SAL KHAN：数学上 所以很清楚了 2 的 n 次方，得到 1、2、4、8、16、32、64 我把数字多说点 你就能看到是如何做的 128、256、512 然后一直持续下去 每次都是 2 的次方 那么有多少个答案的首位是 1 呢 你会说 这个是，这个也是… 最常出现的是 1 那个首位也是1 ，那个也是… 你可以求出首位为 1 的频率 可以画图 表示 1 的频率 然后就是首位为 2 的 这是首位为 2 的 这个也是 但还要继续 我们可以在电脑程序上进行 我们重复计算 2 的次方 你会问 结果首位为 2 的频率是多少呢？ 然后求出这个频率 然后是首位为 9 的答案 完美地符合本福特定律 像魔法一样 VI HART：看起来确实像魔法 SAL KHAN：这也不仅仅会发生在 2 的次方 任何数的次方都会是如此 VI HART：几乎是任何数 这里有个特殊情况 SAL KHAN：我觉得是一个极端的数字 是的 VI HART：1 的次方 SAL KHAN：对，1 不会这样 VI HART：还有 10 的次方 SAL KHAN：10 的次方也不可以 还有其他混合数 VI HART：0 的次方 SAL KHAN：是的 你说的没错 每个数都是 VI HART：嗯 我必须有一定数量的 混合数 SAL KHAN：是的 但其他都符合本福特定律 我们想挑战你，让你解释为什么 如果有兴趣的话 你可以用自己的话 在消息板、YouTube或网页上说明 我们要挑战你思考为什么会这样 接着我们会作出说明 我们可能有不同的解释方式 VI HART：对 SAL KHAN：那么这期视频要结束了 下期视频会用简单的理由说明 为什么会有这种现象