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主要内容

证明对数属性

学习对数属性的证明:乘积法则,除法法则,与幂规律。
在本课中,我们将要证明三个对数属性:乘积法则,除法法则,幂规律. 在我们开始之前,让我们一起回忆一个将全程帮助我们的有用的事实.
logb(bc)=c
换言之,底数为b的对数抵消了底数b的幂的效果!
当你阅读下列证明时,将该等式记在脑中.

乘法法则: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

让我们从证明该法则下的一个特殊例子开始 — M=4, N=8, 且b=2.
将数字代入logb(MN),我们可以看到:
log2(48)=log2(2223)22=4 且 23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)因为 2=log2(4) 且 3=log2(8)
所以,我们得到 log2(48)=log2(4)+log2(8).
尽管这个只能认证一个例子,我们可以跟着这种逻辑思路来证明一概而知的乘法法则.
注意,将48写作2的幂是求证的关键. 因此,概括的说,我们可以将MN写作底为b的幂. 为做到这个效果,我们让M=bxN=byxy表示某些实数
接着通过定义,logb(M)=x 以及 logb(N)=y也为真.
现在我们有:
logb(MN)=logb(bxby)代入=logb(bx+y)指数性质=x+ylogb(bc)=c=logb(M)+logb(N)代入

除法法则: logb(MN)=logb(M)logb(N)

该属性的证明与上方用过的证明方式类似.
再次,如果我们使得 M=bxN=by,那么也就是说 logb(M)=x and logb(N)=y.
我们现在可以证明除法法则,如下:
logb(MN)=logb(bxby)代入=logb(bxy)指数性质=xylogb(bc)=c=logb(M)logb(N)代入

幂规律: logb(Mp)=plogb(M)

这次,该属性中只出现了M,因此我们只要使得 M=bx就足够了,也就是说 logb(M)=x.
幂规律的证明过程如下.
logb(Mp)=logb((bx)p)代入=logb(bxp)指数性质=xplogb(bc)=c=logb(M)p代入=plogb(M)乘法交换律
另外,我们还可以使用乘法法则来证明该属性.
例如,我们知道logb(Mp)=logb(MMM),其中有pM与自己相乘.
我们现在可以使用乘法法则以及乘法的定义(相同加数的叠加)来完成该证明. 证明过程如下.
logb(Mp)=logb(MMM)指数的定义=logb(M)+logb(M)++logb(M)乘法法则=plogb(M)叠加即乘法
得出结论了!我们刚好完成了三个对数属性的证明!

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