用对数解指数方程：基数为2

假设题目为方程 y = 5 * 2^t。 可能有人会说， “看，这个函数挺有意思。 我很好奇，我喜欢的数字是1111。 所以我想知道在哪个点上，t是什么值 会使得y等于1111。“ 我希望你能暂停视频 然后独立思考一下如何求解这道题。 t为什么值会使得y等于 或者约等于1111。 你可能想要用计算器来算了。 我估计你已经试过了吧。 我们一起来做题。 我们想要知道的是，在何时 5乘以2的t次方，等于1111。 我把它写下来。 在什么情况下，5乘以2的t次方 等于1111。 无论何时做代数题目 将我们想要求解的变量 分离出来是很有用的， 我们要求的是一个 使得这边等于这边的t值。 首先第一步最好是将 这个5从左边去掉。 所以将左边除以5。 如果要保持等式平衡 右边也要进行相同的操作。 就得到2的t次方 等于1111除以5。 那接下来怎么解t呢？ 指数函数的反函数 是什么？ 那就是对数函数了。 假设a的b次方等于c 那就意味着以a为底c的对数 等于b。 a的b次方等于c。 loga(c)意思就是需要 a的多少次方等于c呢？ 那就需要a的b次方，就等于c。 a^b = c。 这两个其实是相同的陈述。 所以将等式两边都进行以2为底的log。 在左手边 就是log2 (2^t)。 在右手边， 等于log2(1111/5)。 为什么这一步要这么做呢？ 这就是在求2的多少次方， 等于2的t次方？ 要求2的t次方， 也就是2^t。 这里 就可以简化为t。 直接简化为t了。 在右手边，是log2， 全都在右手边了。 我都写下来吧， t = log2 (1111/5)。 这就是能帮助我们求t值得表达式了 但下一个问题就是 我们怎么解呢？ 如果用计算器， 你就会发现并没有log2键， 那我们应该怎么算呢？ 在这里我们需要应用到 一个非常有用得指数性质。 如果我们已知一个log2的数。 我把它写出来， 假设我有loga (c)， 我们就可以通过 logx (c) / logx(a)求解了。 这个任意数必须是同一个数。 计算器就可以算了因为有log。 直接摁log键，是以10为底的对数。 如果摁ln键，就是自然对数或者说底为e的对数。 我喜欢用10为底的对数。 所以这就等同于 log10 (1111/5) 除以log10 (2)。 这样就可以用计算器了 我们也可以将e为底的对数逆过来 这样就是一个自然对数了 我还是直接用log键吧。 这就是lgN (1111/5)， 也就是这一部分。 这是10为底的对数， 也就是log键代表的意思。 除以log10 (2) 就得到7， 然后跟着一系列数字 但差不多就等于7.796了。 差不多就等于7.796了。 所以当t大约为这个数的时候 y就会等于1111。