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指数表达式中的结构

分析一个详细的指数函数来求他在 t=0 时的值和随 t 而增长或降低时的值。这是最好的代数推理!. Sal Khan 创建

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视频字幕

让我们假设某个粒子的位置 关于时间的表达式 如下。 负d的负t次方 加c的4次方除以c的平方 加1,其中c和d是常数并且它们都 比1大。 那么我想在这个视频里做的就是 看看我们可以通过这个表达式得出什么结论, 通过这里的这个,方程的定义。 我想让你思考的第一个问题 是,初始位置是什么? 如果我要表示初始位置,通过 c和d,并且试着简化它。 我鼓励你暂停这个视频 看看你是否能求出初始位置的表达式。 好了,初始位置就是当时间 等于0的时候我们所在的位置。 那么本质上我们只是要求出p在0的值。 p在0点的值就等于负d 的负0次方。 那么让我把这个写下来。 负0加c的4次方除以c的平方加1。 那么,d的负0次方,这就 跟d的0次方是一样的,然后因为我们 知道d是非0的数,我们知道这个表达式是有意义的。 任何非零数的0次方都是1。 而0实际上还在争论, 关于0的0次方是多少这个问题。 但是我们可以很安全的说这里的这个 就等于1。 那么分子这里就可以简化成。 这就等于-- 我会稍微换一下顺序。 c的4次方减1除以c的平方加1。 现在这个你可能已经能够认出来是一个平方差。 我们可以把这个写成c的平方,的平方, 减1的平方除以c的平方加1。 这就相当于是c的平方 加1乘以c的平方减1。 这整个式子除以c的平方加1。 我们在分子里有一个c的平方加1 分母里也有一个所以我们可以简化。 那么我们的初始位置就是c的平方减1。 这个实际上简化到了非常简单的形式。 现在我要问你的下一个问题是-- 好, 我们知道了时间等于0的时候的初始位置, 粒子就会在c的平方减1的位置上。 但是在那之后会发生什么? 这个位置会增加吗? 这个位置会减少吗? 或者这个位置可能是先增加然后减少, 或者先减少然后再增加以及来回反复? 那么我鼓励你现在暂停这个视频并且 思考一下位置会发生什么变化。 它会一直增加吗? 它会一直减少吗? 或者它会做一些别的变化吗? 好了,让我们来回答这个关于 在我们的初始位置之后位置会发生什么变化的问题。 我们只需要关注这里的这一项就行了。 这个d的负t次方。 这是唯一一个t会影响的部分。 剩下的东西在时间前进的时候 都是保持不变的。 那么d的负t次方会发生什么, 也就是这一部分的第一项,在t从0开始增加之后。 为了思考这个问题,让我们来画一下图。 让我们来画一下d的负t次方看起来是什么样子的。 d的负t次看起来会像是-- 我们知道d大于1。 那么当t等于0-- 这里的这个就是t。 然后我们要画在这里的这根轴上。 我们要画的是d的负t次方。 当t等于0的时候这就等于1。 我们已经知道了这一点。 那现在t增加会发生什么? 假设t增加到了1。 现在这就是d的负1次方,也就 等同于1除以d。 并且我们不知道d的确切数值, 但是我们知道,因为d大于1,1除以 d就会小于1。 那么假设说这里的这个是1除以d。 1除以d。 那么它就会像这样。 然后当t是2的时候我们就会 得到1除以d的平方,也就会 大概像是这样。 你现在起码可以看出来在t增加的时候这一项会怎样了。 t增加,d的负t次方 是严格递减的。 再强调一下我们知道这一点是因为d大于1。 因此这里的这一项是严格递减的。 那么这就是递减的。 这一部分。 但是我们并没有加它。 我们在减它。 我们是从最开始减它。 最开始的时候这个是从1开始的。 我们减1. 然后我们开始减去比1 越来越小的东西。 那么如果这是递减的,但是我们在减去它, 我们在减去越来越小的数字, 这整个东西,它的相反数, 就会是一直增加的。 另一种思考这个的方式是, 如果你想画出负d的负t次方的话, 它的图象看起来会是这样的。 它就会是这里的这张图的相反。 因此它会看起来是-- 我会 用黄色来画-- 这个部分。 那么这里的这整项, 负d的负t次方,就是持续增加的。 并且我们知道其他的所有东西,也就是,这些 是保持不变的。 因此这整个表达式就是 从t等于0开始持续增加的。 然后t会取到越来越大的正值。 现在我想问你的最后一个问题 是,这里的最大值是多少? 什么值是这个表达式永远达不到的? 它可能会接近这个值,但是它永远 不会到达这个值。 好了,我们已经知道了它是递增的, 但是让我们思考一下当t变成非常,非常, 非常大的数字的时候会发生什么。 你可以认为我们要求的就是在t接近无穷的时候。 好了,那么我们再来看一次这个d的负t次方项。 你可以看到d的负t次方,在t越来越大的时候, 就会越来越小。 这里的这一项会接近0 在t趋近于无穷的时候。 那么,如果这趋近于0这就意味着我们要减去0。 那么这整个黄色的部分,负d的负t次方, 是递增的但是它会 以一个更慢的速度递增。 那这就是负d的负t次方。 这里的这个。 你可以看到它增加但是永远 不会到达这里的这根水平线。 也因此如果我们思考在t趋近于无穷的时候, 这整个式子就会变成0然后我们的整个位置表达式 就会接近但是永远不会到达 c的4次方除以c的平方加1。 那么一种思考这个问题的方法是,它在接近这个 但是它永远不会到达c的四次方 除以c的平方加1这个位置。