构造指数方程模型：半衰期

- [画外音] 我们已知碳-14 这个元素 每隔 5730 年就损失其一半的质量。 一份碳-14样品的质量 可以用以其年纪 t 年 为变量的函数 M 来表示。 我们测量出某碳-14样品 的初始质量是 741 克。 要求写出一个函数表达 该碳-14样品自测量初始质量时间的 t 年以后 所剩的样品质量。 那么象往常一样，把视频停一下， 自己试试看能不能找出 t 的函数 M ，其中 t 是 测量初始值以后所经过的年数。 现在让我们一起来解这个题目。 我喜欢的方法是，先用 一个表格来让自己了解的情况。 我们来考虑一下 t，就是在 初始测量之后经过了多少年， 以及那时还剩下的样品质量有多少。 我们知道初始值， 即一开始 碳－14样品的质量是 741 克， 故 t 等于零时，样品质量为 741。 那么另一个让人关注的时间点是什么？ 已知每过 5730 年， 碳－14样品的质量刚好损失一半。 每 5730 年。 想想看 t 刚好等于 5730 时会发生什么事。 不用说，一半的样品质量没了， 就是原来的量乘以 1／2。 就是 741 乘以 1／2。 我现在先就这么写，不算出结果。 然后假设又过了 5730年， 这样对于时间 t， 我写上 2 乘以 5730。 我可以把该乘积写出来。 一万多，准确地 说是 11，460。 但我们还是只写 2 乘以 5730 更方便。 核算一下。 10,000 加上 1,400 得 11,400，再加 60。 对了，就是 11，460。 不过我们还是只写 2 乘以 5730 。 然后这边就等于前一项乘以 1／2。 就是 741 乘以 1／2 再乘以 1／2。 也就是又乘了一次 1／2。 这就相当于 741 乘以 1／2 的平方。 接着我们考虑一下 如果再等 5730 年， 就是 3 倍的 5730。 那么结果就是 1／2 乘以这一项。 就是等于 741， 乘以 1／2 的 3 次方。 因此你可能注意到这里的规律。 无论我们经过多少个半衰期， 就得计算1／2的那么多次方， 然后把结果乘以初始质量。 这里是经过一个半衰期， 这是经过两个半衰期，我们有指数为二， 三个半衰期，做三次乘法。 是三次乘以 1／2 。 这样 t 的函数 M 的通用公式是什么？ t 的函数 M 等于 初始质量 741 ，乘以 一个你可能已经看出来 的指数函数， 我们得多次乘以 这么个可以称为公比的数， 乘法的次数和经过的半衰期的次数一样多。 那么我们怎么知道已经过了多少个半衰期呢？ 其实我们可以把 时间变量 t ， 除以该元素的半衰期。 我们来验证一下这个公式。 当 t 等于零时，指数部分是 1／2 的零次方， 就等于一，整个公式得 741。 当 t 等于5730 时， 1／2 的方次指数等于一，正是我们所需要的。 我们就把初始值乘以 1／2 一次 。 当这个指数中， t 为 两倍的 5730 时， 这个指数就等于 2， 就得两次乘以 1／2。 这个因子为 1／2 的 二次方。 如果 t 不是 5730 的整数倍该公式也成立。 如果我们 的时间变量值是半衰期的分数倍数值时， 得到的指数也非整数， 这样该表达式也合用。 因此这就是我们需要的函数。 我们就 解出来了。 我们写出了 M 函数的表达式， 表示在初始测量后经过 t 年时 碳－14 剩下的质量数有多少克。