构造指数方程模型（旧例）

铯-137是放射性稀有元素 用来研究上坡土壤侵蚀 和下游沉降。 它的半衰期是 30 年。 半衰期是 30 年，意思是 如果开始有 2 千克 铯-137， 30 年以后 就剩下 1 千克铯-137了。 另外 1 千克已经衰变成其它物质了。 如果再过 30 年， 就只剩半千克的铯-137。 假设在土壤样品中以贝克为单位的铯-137量为 A， 用指数函数表达为 A 等于 c 乘以 r 的 t 次方 － 这里 t 是把铯-137释放到土壤里以后 所经过的年数，而 c 和 r 为待定常数。 这里我要解释一下。 贝克这个单位是什么意思？ 通常如果谈到某元素的量， 大概指的是其质量， 单位可以是千克。 但是谈起放射性 物质的量有时用它 产生的放射能量来表示。 贝克是放射能量的 国际单位 － 以亨利·贝克雷尔的名字命名， 他和玛丽·居里共同发现放射现象。 你可以把它当作这么多量的铯-137 产生了 A 贝克的辐射量。 无论如何，可以把它看作一个量。 这个量的放射材料 引起了 A 贝克的辐射量。 为了解释清楚，这个量 用指数函数表达为 － 我再写一遍 － A 等于 c 乘以 r 的 t 次方 － 这里 t 是把铯-137 释放到土壤里以后所经过的年数， 而 c 和 r 为待定常数。 够清楚了吧？ 这个量是释放放射性材料后所经过的年数。 另外，假设已知释放在土壤中 的銫-137初始量为 8 贝克。 求解未知常数 c 和 r 。 所谓初始时刻， 就是 当 t 等于 0 时, 就是一天都没有经过。 可以说在 t 为 0 时 － 这 个量等于 c 乘以 r 的 0 次方， 就是 c 乘以 1， 刚好等于 c 。 我们已知 在 t 为 0 时 A 是多少。 在 t 为 0 时 A 是 8 贝克。 这就等于 8 。 因此常数 c 等于 8。 这个常数的值是多少？ 我们可以把 8 写在这儿。 那么常数 c 的值就等于 8。 常数 r 的值是多少？ 四舍五入到千分之一。 起始量是 8 。 所以 在 t 为 0 时 A 是 8。 30 年以后还剩多少？ 我挑 30 年是因为 銫-137的半衰期是 30 年。 t 为 30 － 我 先换一下颜色。 注意，t 的单位是年。 现在看 t 为 30时 A 是多少。 30年以后 － 如果 用这个公式， 用这个指数函数来表示 A， 我们已知 c 就是 8。 它等于 8 乘以 r 的 30 次方， 这个式子的值是多少？ 如果初始值为 8，30年以后， 就只剩下一半了。 那时就只有 4 贝克。 现在，这些信息可用来解 r。 所以 8 乘以 r 的 30 次方 等于 4。 方程两边各除以 8。 得到 r 的 30 次方等于 4 除以 8 － 就是 1／2。 然后，对方程两边进行 1／30 次乘方运算。 r 的 30 次方 的 1／30次方 － 这些运算结果是 r 等于 1／2 的 1／30次方。 这个运算 心算太难了。 所以我建议用计算器。 而且题目要求我们把结果 四舍五入到千分之一位。 因此我们现在来用计算器。 要算的是 1／2 的 1／30 次方。 结果是 0.9771599 ... 接下去还有。 要四舍五入到千分之一位， 结果就是0.977。 然后最后的问题是，铯-137被释放到土壤里 以后又过了150年，还剩下多少贝克？ 用 r 的近似值，而答案 四舍五入到百分之一位。 注意我们现在已经知道 c 和 r 的值。 我们知道以贝克为单位的铯-137的量 － 是以年为单位的时间的函数 － 等于 8 乘以 0.977 的 t 次方 － t 是所经过的年数。 而题目所问的是， 经过 150 年后还剩下多少铯-137 ？ 因此需要计算的是 t 为 150 时 A 函数的值。 而那就等于 8 乘以 0.977 的 150 次方。 很明显，我们要用计算器。 我们就来算吧。 就会等于 8 乘以 － 该题目里 允许我们用 r 的近似值。 这样就等于 8 乘以 0.977 的 150 次方。 要求我们四舍五入到百分之一位。 等于 0.24。 0.24贝克是剩下的 铯-137所具有的辐射量。 有意思的是 要求我们在计算中用 r 的近似值。 刚才的结果就是用了 r 的近似值。 因为 150 是 30 的整数倍， 实际上 － 也不算难 － 就可算出所剩的铯-137的准确量。 而且其实连计算器都用不着。 我建议你把视频暂停 想一下。 求所剩的铯-137的准确量。 如果不用 0.977, 作为 t 的函数 A 等于 8 乘以 r 的 150次方。 刚才我们用了 r 的近似值。 如果要更加准确， 我们就用 r 等于 1／2 的 1／30 次方。 接着我们来算 r 的 t 次方。 或者说 t 的函数 A 等于 8 乘以 1／2 的 t／30 次方。 一个数的甲数次方， 其结果的乙数次方， 相当于该数的甲乙数乘积次方。 所以这是 1／2 的 t／30 次方。 我要换一种颜色。 我用黄色来写。 这就是 8 乘以 1／2 的 t／30 次方。 其实我可以少写一层括号。 这就是 t 的函数 A 的另一种表达式。 那么 t 为 150 时 A 的值是多少？ t 为 150 时 A 的值等于 8 乘以 1／2 的 150／30 次方。 150／30 就是 5。 1／2 的 5 次方。 那么1／2 的 5 次方是多少？ 那就是 1 的 5 次方 除以 2 的 5 次方，得 1／32。 因此这就等于 8 除以 32， 相当于 1／4， 四分之一或 0.25。 因为用了 r 的近似值， 我们得到 0.24， 原因是对该近似值做了 150 次方的运算。 因而我们用了许多近似。 我们把 150 个近似值乘起来， 结果与其准确值相差也不是太远。 题目里允许我们用近似值。 不过准确地说，实际所剩量 应该是 0.25 贝克。