线性与指数增长：从数据入手（例子2）

一杯温水被放到 冰箱冷冻层后的温度 如下表所示。 我们有以分钟为单位的时间， 和在每个不同时间点 所对应的温度。 以下哪个模型C（t）， 水杯放入冷冻室 t 分钟后的水温，可以 最好地模拟原始数据呢？ 可以在这里暂停一下视频， 看看哪一个模型最好地模拟原始数据。 好了，现在让我们来一起看一下这个问题。 要解决这个问题， 我们看看下面的选项。 有的是指数模型， 有的是线性模型。 如果现在的最好选择是线性模型的话， 就意味着对于每一段固定的时间增长， 温度的变化也应该是固定的。 如果最好选择是指数函数的话， 那么对于每一段固定的时间增长， 水温变化的倍数是固定的。 也就是说，从一分钟 到两分钟， 或者 从两分钟到三分钟， 水温变化量并不会是固定的， 但是比之前水温的变化倍数应该是相同的。 让我们来思考一下。 那么这里的话， 我们的时间变化是2分钟， 那么温度变化是多少呢？ 温度变化 是负15.7， 负15.7。 如果我们从乘法的角度看待这个变化呢？ 80乘以多少 等于64.3？ 这里可以用一下计算器。 64.3除以80 大概等于0.8。 可以说约等于0.8。 所以我们可以乘以0.8， 0.8 倍数是约等于0.8。 所以从80度到64.3度， 我既可以用一个线性模型， 减去15.7度， 也可以乘以0.8来得到。 现在如果我继续增加两分钟的时间， 从2分钟到4分钟， 所以时间差等于2， 这里的温度变化是多少呢？ 不是12， 应该是， 我现在大脑运行状态并不是最佳， 先用64.7减52.7等于12， 但是64.3比64.7少0.4， 所以是11.6， 负11.6。 但如果你从乘法的角度看呢， 需要乘多少？ 让我们把计算机请回来。 我们用52.7除以 64.3， 除以64.3， 就等于 约等于0.82。 所以变化倍数是0.82。 如果想的话， 当然我们也可以重复刚才的步骤。 但是看上去，我们算出来的 每个固定时间段的温度变化， 完全不接近。 如果这里变化15.6而不是11.6的话， 我还会说也许是数据出了点小问题， 毕竟收集的原始数据 永远都不会是完全理想的。 我们只是在建立一个模型 来拟合原始的数据。 不过呢，这里的倍数变化 倒是一直差不多 在0.8左右。 现在你可能会马上想说， 那么C（t） 就等于我们最初的温度， 80度乘以公比0.8的 分钟变化次方。 确实看起来很有道理， 事实上如果这里是1分钟， 这里是2分钟的话，那这个函数确实没问题。 但是我们每次的时间变化 其实是2分钟。 所以我们真正应该写的是， 一种思考方法是，我们需要 2分钟来达到0.8的温度变化， 才可以乘以之前的温度0.8倍， 所以正确的式子应该是， 这里改成2分之t， 因为是每两分钟。当t等于0分钟， 水温是80度。 2分钟后， 水温是80乘以0.8， 也就是我们这里得到的。 4分钟后， 水温将会是80乘以0.8的平方。 让我们来验证一下， 我们好能确信这是对的。 对于这类问题， t 是时间， 然后C（t）温度， 当 t 等于0，C（t）是80度。 当 t 是， 让我们来用和左边一样的数据。 当t等于2， 我们得到80乘以， 2除以2等于1， 所以是80乘以0.8的一次方， 和我们这里的数据非常接近。 当t等于4， 我们会得到80乘以0.8的平方， 也和我们这里的数据很接近。 我可以为你算一下。 0.8的平方 乘以80 等于51.2， 确实非常接近。 这个近似值很不错。 说明这个模型挺正确的。 所以我觉得这个模型不错。 但这和这里的选项并不完全一样， 我们怎么能调整一下我们的模型呢？ 我们可以注意到， 这里其实和 80乘以0.8的二分之一次方 的 t 次方是一样的。 那么0.8的二分之一次方是多少呢？ 0.8， 0.8的平方根， 约等于0.89。 所以说这个式子约等于 80乘以0.89的t次方 0.89的t次方。 如果你看一下这里的几个选项， 这个选项其实非常接近。 所以这个模型可以最好拟合我们的数据， 尤其是和其他几个选项相比， 这个模型非常接近 我们刚才得到的模型。 另一种解决此问题的方法， 可能也许还更简单一点。 我更喜欢之前这种方式， 因为即使我没有选项， 也可以得到一个不错的答案。 不过另一种解题方法， 我们可以想，80是最初的水温。 每一个下面的模型选项， 不管是指数还是线性模型， 在t等于0时水温都等于80度。 但很明显这个不应该是线性模型， 因为每次的温度差 和彼此都毫不接近。 但看上去每两分钟， 温度都以大约0.8倍速改变， 所以我们需要一个指数模型。 所以我们就可以筛选到这两个选项。 现在你可以继续排除这个选项， 因为我们并不是每1分钟变化0.8 或者0.81倍。 我们是每2分钟 改变0.81倍。 所以你也可以排除这个选项。 接下来 就只剩下这一个可以选， 所以你就可以说， 如果每分钟水温改变0.9倍， 那每两分钟确实会改变0.81倍， 和我们在这里看到的很接近， 每两分钟，水温 改变大概0.8，0.81左右。 所以我们会最终选在选项1。