解释指数模型中的变化

- [画外音] 我拍了几张 可汗学院“解释指数模型变化率” 习题课的视频截图 可能视频名称会做调整 这个标题有点长了 不过我们还是可以用它来做讲解 第一年春天一片地里 所有树都开花了 结果树一开花 来吃花的蝗虫数量就迅速增加了 从开春起以天数为单位的 时间t与蝗虫总数 L(t)可以用函数表示 蝗虫的数量与 开春后的总天数之间 是函数关系 可以用下列函数表示 蝗虫数量作为时间的函数 就是750乘以1.85的t次方 题目要我们把下面关于 每天蝗虫数量变化率的句子补充完整 首先我们想想 每天会发生的变化 我要画一个小表格 让数量关系更清楚一些 这里做一个表格 这边是时间t，这边是L(t) 当t=0时，也就是过去0天后 这一部分就等于1.85的零次方 也就是1 所以从一开始蝗虫的数量就是750只 时间过去1天后，会发生什么呢？ 函数就变成750 乘以1.85的一次方 也就是乘以1.85 那么当t=2时，L(t)怎么表示呢？ 这时候它就是750 乘以1.85的平方 也就是 1.85乘以1.85 这里注意 之所以是这样的变化 是因为这是一个指数函数 每一天都是 前一天数量的1.85倍 乘以1.85 我们本质上是在用前一天的数量 乘以1.85得到第二天的数量 因为1.85比1大 蝗虫的总数会越来越多 这是会不断增长的 我现在没有用网页打开 所以这里不会出现下拉菜单 这边每天都会 以1.85倍的速率增长 我们再来做一个类似的例题 好的 这道题目中说维拉是一个生态学家 她研究西伯利亚熊的总数 随时间变化的速率 自从维拉开始研究起过去的年数t 与熊的总数N(t) 之间的关系 可以用下列函数表示 好的 我们这里又是一个指数模型 题目要我们将下面关于 熊的总数每年增长率的句子补充完整 我们来一起思考 t所代表的时间每过去一年 熊的数量都会变成 前一年的2/3 我可以做一个跟刚才一样的表格 让数量关系更清楚 好吧 我们在这里 做一个表格 这里是t，这里是N(t) 当t=0时，熊的总数N(t)=2187 那是她开始研究 熊的数目的第一年 也就是从开始过去0年 一年后数量就变成 2187乘以2/3的一次方，也就是乘以2/3 两年后就是2187 乘以2/3的平方 那就是2/3乘以2/3 所以每下一年都是 前一年熊的总数的2/3 就等于不断把前一年的总数乘以2/3 因此每一年熊的总数都在递减 递减的变化率 是2/3 我们再来练一道题 题目告诉我们阿奇巴开始 研究他的树的树枝总数随时间的变化 好的 从他开始研究开始起 过去的年数t 与树枝总数N(t)之间的关系 可以用下列函数表示 题目要求将下列关于 每年树枝总数变化百分比的句子补充完整 每一年，有百分之多少的树枝 是在总数的基础上增加或减少的 我在这里画一个表格 尽管你们可能都已经习惯 看到题目直接找出答案了 我们来看，每年树枝的总数 都是前一年的1.75倍 每一年的数量 都是前一年的1.75倍 也就是增加了75% 我把这个表示得更清楚 所以每一年都会有 75%的树枝增加到总数上 我要把表格再画一遍 就和上两道题一样 希望能让数量关系更清楚 这里是t，这里是N(t) 当t=0时，总共有42根树枝 t=1时，总数变成42乘以1.75 乘以1.75 t=2时，就是42乘以1.75的平方 42乘以1.75 再乘以1.75 所以每一年都要用总数 乘以1.75 但是如果你每年都乘以1.75 总数以1.75为因子增长 这和增加75%是一样的 也就是说，每年增加75% 这样来思考 如果你增长的因子是1 你其实没有任何数量的增加 这个数会保持不变 如果增长率是10% 你就会变成1.1倍 如果增长了200% 就会变成之前的两倍 那么这边呢？ 我要特别注意 我得特别注意 刚才我可能说错了 如果你增长了200% 你就会变成原来的三倍 一倍是不变，200% 是两倍 所以就会变成三倍大 这里不是故意要把你弄糊涂的 我刚才意识到自己 说错了句话 好了，希望你喜欢这个视频