用指数的特性来解指数方程（进阶）

- [画外音] 现在我们再做一些 解指数方程的练习，而这里有 两个不同的指数方程。 依照惯例，请把本视频暂停， 试着自己把这两个方程解出来。 现在我们先来解紫色的方程。 你可能首先注意到 该方程的两边有不同的底。 所以把这两个底化成一样更方便。 第一眼看去， 32 不能写成 8 的整数次方。 不过它们都是 2 的整数次方。 32 可以用 2 的 5 次方来表示， 而 8 可以用 2 的 3 次方来表达。 因此我可以改写原方程， 把 32 用 2 的 5 次方来代替， 然后对这个 式子再进行 3分之x 次方。 等于，现在我把右边的 8 以 2 的 3 次方 来代替，然后 对该底进行 x 减去 12 次的乘方。 如果对于某数进行一个指数的乘方， 然后再对其结果做另一个指数的乘方， 就等同于对这两个指数的乘积进行乘方。 所以方程的左边 可以写成 2 的 3分之5x 次方。 就是把这两个指数相乘。 方程的右边也可以写成以 2 为底的一个乘方式子。 右边的乘方指数等于 3 乘以 x － 12。 这样右边等于 2 的 3x － 36 次方， 方程就比较容易处理了。 左边和右边都是 以 2 为底的乘方。 因此这两个乘方指数应该相等。 3分之5x 必 等于 3x －12。 所以我们推导出这个等式，就可以解出 x。 5x／3 等于 3x －36。 方便起见，可以对 方程两边都乘以 3 ， 方程两边都乘以 3， 来试试看 把方程两边都乘以 3， 得出 5x 等于 9x 减去…… 这个常数是多少呢？ 36 乘以 3 就是 108。 现在我们可以 在两边减去 9x， 左边等于 5x 减去 9x 得 －4x， 等于 －108。 就差最后一步了。 先把黑板调好。 方程两边都 除以 －4。 这样就可以 得到 x 等于 27。 x 等于 27。 解出来了。 这一题解出来了。 如果把解出的 x 值代入该方程， 方程左边就得到 32 的 3分之27 次方， 就是 32 的 9次方，等于 8 的 27减12 次方。 就是 8 的 15 次方。 27 减去 12 得 15， 所以是 8 的 15次方。 我们来做下一题。 这一题有些不一样。 有一个分式。 分子和分母部分都有乘方指数。 这题的关键在于... 我想先这么办。 我想把这个 25 用 5 来表示。 25 就是 5 的平方。 因此这个方程可改写为 5 的 4x + 3 次方 除以，把 25 用 5 平方代替， 然后做 9 － x 次的乘方， 这整个分式等于 5 的 2x + 5 次方。 5 平方 的 9 － x 次方。 指数可以相乘。 左边等于 5 的 4x + 3 次方除以 5 的…… 2 乘以 9 等于 18， 2 乘以负x 等于负2x， 等于右边的 5 的 2x + 5 次方。 到这一步，下面 有多种解题方法。 可以将方程两边都 乘以 5 的 18 － 2x 次方。 乘以 5 的 18 － 2x 次方。 这是一种方法。 或者我们注意到， 5 的某指数乘方除以 5 的另一 指数乘方，那就可以用黄色指数 减去蓝色指数。 所以左边化简为 5 的 4x + 3 减去 我换个颜色， 减去 18 － 2x 次方。 减去 18 － 2x 次方。 而左边的式子 等于方程的右边，就是 5 的 2x + 5 次方。 现在我们还得进一步化简。 现在我必须把 显示屏调整一下， 同时可以想一想 怎么把它 表达清楚。 现在我们可以断定这个 指数等于那个指数，因为 两边的底是一样的。 左边的指数 可以写成 4x + 3 － 18 + 2x。 我只是把括号外的 负号乘入里面的两项。 因此方程左边 等于右边 的 2x + 5。 我们还可以做许多化简。 我们可以在方程两边都减去 2x， 这样式子短一些。 两边消去 2x。 我们当然也可以从两边都减去 5。 就这么办。 从方程两边 都减去 5。 我就不把所有的步骤 都写出来了，因为我假设你 已经熟悉解一次方程了。 这样在方程左边， 得到 4x + 3 －18 －5。 3 － 18 得 －15， 再减去 5， 得到 －20， 方程右边等于 0。 其原因是正负五相互抵消。 然后方程两边都加上 20 ， 得到 4x 等于 20 。 方程两边都除以 4， 我们得出 x 等于 5 。 本例解完了。