圆锥截面的介绍

这一节介绍圆锥曲线 本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com 首先 什么是圆锥曲线及为何这么叫 其实 大家是认识的 我把它们写出来 圆 椭圆 抛物线 双曲线 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 这些大家已经知道 我开始学圆锥曲线时 马上就想起圆和抛物线的样子 椭圆和抛物线我也知道一些 这些为什么要叫圆锥曲线呢 因为它们是平面和圆锥曲面的截线 因为它们是平面和圆锥曲面的截线 一会我来作图 在这之前 我先 把这些曲线画出来 用不同颜色 圆是这样的 大家都知道 选个更粗的线条 圆是这样的 从圆心到圆上每点距离相等 这个距离称为半径 这是r 这是圆心 圆也就是 同圆心距离为r的所有点 讲圆的时候我讲过 世界因此而转动 椭圆 可以看作是压扁的圆 大概是这样 换一种颜色画椭圆 椭圆可以像这样 或者这样 它还可以旋转倾斜 用这个工具不大好画 大概就是如此 其实 圆是椭圆的特例 圆是各方向距离都相等的椭圆 圆是各方向距离都相等的椭圆 圆怎么看都对称 抛物线 学过之前视频的应该知道 它也是一种圆锥曲线 先把图像分隔开 抛物线大概是这样的U形线 抛物线大概是这样的U形线 比如y=x2这样的函数就是如此 比如y=x2这样的函数就是如此 比如y=x2这样的函数就是如此 它还可以平移 还可以像这样 这是x=y2 还可以旋转 这就是 抛物线的大致形状 以后我还会讲如何作图 及怎么求抛物线的某些关键点 最后一个大家也许见过 双曲线 有点像两条抛物线 不过不是 双曲线U得没这么厉害 张得更开 我会解释这是什么意思的 双曲线一般是这样的 先画轴线 再画一些渐近线 经过原点 很好 这是渐近线 不是双曲线 双曲线像这样 逐渐逼近渐近线 像这样逐渐逼近蓝色直线 这一侧也一样 图像在两侧都有 洋红色就是一条双曲线 我没画好 当然 双曲线 也可以在竖直方向 可以在渐近线下方和上方 可以在渐近线下方和上方 蓝色这是一条双曲线 洋红色是另一条 以上就是不同图像 大家肯定想问 为什么这些称为圆锥曲线 大家肯定想问 为什么这些称为圆锥曲线 为什么不叫其它什么名字呢 它们之间有什么联系呢 显然圆和椭圆的形状有关 椭圆是压扁的圆 而抛物线和双曲线似乎也有关联 这是p 两者名字里都有bola 而且都是U形 虽然双曲线有两支 而且开口朝不同方向 但它俩很像 这些曲线之间有什么联系呢 这其实就是"圆锥"这个字眼的来源 我先来画一个三维圆锥 这是圆锥 这是顶面 顶面其实可以用椭圆工具 其实是没有顶面的 可以朝这个方向无限延伸 我这里给了一个截面 让它看起来像圆锥 下面也一样 下面 找一些不同的平面 同圆锥曲面相交 将得到不同形状 先画一下该圆锥的中轴 先画一下该圆锥的中轴 这是中轴 如果平面正好与中轴垂直 我试着画一下 平面大概是这样 先画直线 这是靠近你的这一端 后面表示另一端 很接近了 当然 平面各方向是无限延伸的 当然 平面各方向是无限延伸的 如果该平面垂直于中轴 如果该平面垂直于中轴 平面和圆锥曲面的截线是这样的 这是有一定视角的视图 我们可以从正上方看 我们可以从正上方看 假设我把镜头旋转一下 俯视平面 可以看到截线就是圆 如果平面稍微倾斜一些 则情况会像这样 看我画不画得好 大概是这样 哦 大概是这样 哦 大概是这样 另一侧是这样 连起来 这是平面 此时与圆锥的中轴不再垂直 此时与圆锥的中轴不再垂直 该平面与圆锥曲面的截线 未来的视频中大家就会知道 立体几何中 我可以证明是这样 立体几何中 我可以证明是这样 以后 我们会求出准确的方程 以后 我们会求出准确的方程 这个截线会像这样 大家可以想象下 大概是这样 从平面正上方看 从平面正上方看 紫色这一圈大概是这样 画得不好 它是一个椭圆 椭圆的样子大家知道 朝别的方向倾斜 椭圆也会是别的方向 这就大致说明为何圆和椭圆是圆锥曲线 这就大致说明为何圆和椭圆是圆锥曲线 再看更有趣的 如果继续倾斜平面 沿此点旋转平面 平面会变成这样 我画一下 这是立体绘图的很好练习 大概是这样 穿过这个点 这是三维平面 这个平面只同下侧曲面相交 平面同上侧曲面一边平行 此时平面同曲面的交线 正好过这一点 我一直是沿此点旋转的 平面和圆锥曲线的交线始终过这一点 这一次大致会像这样 一直往下 画出来 也就是这样 从平面正上方看 这就是抛物线 很有趣 不断倾斜 开始时是圆 然后得到椭圆 然后得到椭圆 逐渐变扁到一定程度后 到平面正好同上圆锥一边平行后 到平面正好同上圆锥一边平行后 这里画得不准确 意思是到了 这里画得不准确 意思是到了 椭圆变为抛物线 椭圆变为抛物线 抛物线也就是椭圆一端开口的情况 抛物线也就是椭圆一端开口的情况 如果继续倾斜平面 换一种颜色 会同两侧圆锥相交 我画着试试 这是新的平面 不错 平面是这样 有点看不清了 我画一下这个绿色平面同圆锥曲面的截线 我画一下这个绿色平面同圆锥曲面的截线 希望大家不会迷惑得有些绝望 截线大概是这样的 同时同下圆锥和上圆锥相交 同时同下圆锥和上圆锥相交 大概像这样 这是同下圆锥曲面的交线 上面则是同上圆锥曲面的交线 记住 平面各向都是无限延伸的 这就是圆锥曲线的大致概念 以及为何叫作圆锥曲线 这个画得有些糟糕 有机会我会找个3D程序 好好画一下 有机会我会找个3D程序 好好画一下 有机会我会找个3D程序 好好画一下 这就是圆锥曲线名称的由来 以及它们之间的关系 以后我们将从数学上进行更深的探讨 知道什么是圆锥曲线 以及为何这么称呼之后 下一节 我会讲到它们的公式 如何辨识公式 及根据公式 及根据公式 下一节再见