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主要内容

从其展开方程得到的圆的特征

萨尔求出了一个圆的中心和半径,它的方程是 x^2+y^2+4x-4y-17=0,然后他画出了这个圆。 Sal Khan 创建

视频字幕

题目给了我们一个看上去很复杂的方程 并要求我们画出这个圆 我们可以在这里画出来 画圆的话首先得知道圆心在哪 并且你需要知道半径是多少 让我尝试下改变这个圆的半径 你知道它的半径是多少 所以我们需要做的就是将这个方程写成 具有圆心坐标和半径的形式 让我把画图板调出来一起解这个问题 这个就是刚才给的圆的方程 我们主要需要做的就是 写出完整的 x 的平方项 和完整的 y 的平方项,变成我们 熟悉的形式 首先我们将所有和 x 有关的项找出来 你会发现公式左侧有 x 平方以及 4x 所以我们可以写成 x平方加上4x 因为我们需要写成完全平方形式 所以我们把这两项放到括号内 然后我们来处理和 y 有关的项 我把这些项用红色圈出来 这颜色看上去和紫色容易混淆 让我换成蓝色 y平方和负4y 所以我们有正的y平方减去4y 剩下一项是 -17 我用白色把它写出来 减去17等于0 现在,我想做的就是 将紫色的项写成完全平方形式 那我应该怎么做呢? 我可以把这里的4除以2 再平方一下 所以我在这里需要加上4,这样整个表达式 可以写成 x-2 的平方 你如果感兴趣可以验证一下 如果你需要复习完全平方的概念 你可以在可汗学院上找到很多相关视频 我们这里做的仅仅是将这个系数除以2 然后将其平方得到4 4 的一半是 2,平方之后变成 4 这很容易理解,如果你将 x+2 平方一下,就会得到 x 平方加上两倍的 2 和 x 的乘积,加上 2 的平方 而我们不能随随便便在这里就加上一个 4 这里是一个等式,如果单独加上一个 4 就会让等式两边不成立 所以如果你想保持等式两侧继续相等 我们需要同时在等式右侧也加上 4 现在,让我们对 y 项做一样的处理 这个因子的一半是 -2 如果我们将 -2 开平方,它将会变成正 4 我们不能仅仅在左侧加上 4 我们需要在等式右侧也加上一样的数 现在,蓝色的项可以写成 y-2 的平方 当时,我们还有 -17 这一项 那我们为什么不在两侧同时加上 17 这样可以抵消掉 -17呢? 所以我们在左侧加上 17,右侧也加上 17 现在的左侧只有这两个表达式 而在右边,我们有 4 加 4 加 17 也就是 8 加 17, 等于 25 现在的这个形式我们很熟悉 如果一个表达式的形式是 x 减 a 的平方加上 y 减 b的平方 等于 r 的平方,那我们就知道圆心的坐标 就是 a,b, 本质上就是圆心这一点 让这两项变成 0 而圆的半径是 r 所以我们来看这,那我们的 a 是多少呢? 需要注意的是 我们的 a 不是 2 我们的 a 是 -2. x 减去 -2 等于2 所以我们要求的圆心的x坐标 就是 -2, y坐标 就是 2 要记住,我们关心的是让这一项变成 0 的x的值 以及让这一项变成 0 的y的值 所以圆心就是 -2,2 然后这个值是半径的平方 所以圆的半径是5 所以让我们回到习题里正式画一下这个圆 这是 -2,2 所以我们的圆心就是 -2,2 就在这里 x 是 -2, y 是正 2 并且半径是5 所以,也就是 1,2,3,4,5 所以应该比现在这个半径更大一些 我的笔出了些问题 现在好了 1, 2, 3, 4, 5 让我们来检查下答案 我们回答正确啦