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主要内容

从一个方程找出的双曲线的焦点 & 准线

视频字幕

这是一个抛物线方程 这个视频的目的是探索 一个替代方法 能通过这个等式找到 这个抛物线的焦点和准线 那么我想做的第一件事就是先解出y 用这个方法我的大脑 能更好处理问题 那么,让我们将这个23/4移到右边 在两边同时加23/4 然后我们得到y等于-1/3 乘以x减1的平方 加23/4 现在让我们回顾一下我们学过的 焦点和准线 我想应该是这么说的 所以,焦点。 如果一个抛物线的焦点在点(a,b)上 然后准线 准线 是垂直线y等于k。 我们已经在其他视频中 通过一些复杂的代数知识证明了 抛物线的方程 在这样的形式下是 y等于1/2乘b-k b-k是 这个y坐标和这个y值的差 你可以这么说 再乘x-1的平方 加b加k 对不起不是x-1 我把它弄混了 是(x-a)的平方 (x-a)的平方加(b+k) 除以2。 焦点是(a,b) 准线是y等于k 然后这个是抛物线的方程 好了,我们看到了用这个方法 可以看到这个式子不同的部分 我们可以看到,这个(x-1)的平方 这样吧,让我用不同的颜色 这个(x-1)的平方 对应到这个(x-1)的平方 所以x 对应到a, 那么像这样,我们知道a将会 等于1 让我把它写下来 在这个例子里的a等于1 然后你能看到这里的-1/3 对应到1/2(b-k) 然后23/4 对应到(b+k)/2 现在我们探索的第一个方法 我们说“好的,让我们把-1/3设成 这里的这个式子 求解(b-k) 我们不是在解b或者解k, 我们在解(b-k)这个表达式 所以你得到b-k的值 然后你能用23/4和(b+k)/2 去解(b+k) 所以你可以得到b+k的值 然后你有两个方程和两个未知数 你就可以解b和k了。 在这个视频里我想做的是 用我们对于 抛物线顶点的知识 去探索不同的方法 解出焦点和准线的位置 那么让我们来思考一下 这里的抛物线的顶点 记住,如果抛物线像这样开口向上, 那么顶点就是这个最小点。 如果抛物线开口向下 顶点就会是最大点 所以当你看这里 你可以看到你有一个-1/3 在(x-1)的平方的前面 所以这里的数值要么 是0,要么是负的。 它不会加到23/4上 要么不加任何内容,要么从中删掉。 所以这个数将会到最大点 当这个表达式是0的时候, 抛物线就会从那里开始往下降 当它是0的时候, y就等于23/4。 所以我们的顶点将会是最大点。 好了,那它什么时候等于0呢? 当x等于1的时候。 当x等于1是时候,你得到(1-1)的平方。 所以0的平方乘以-1/3, 答案还是0。 所以当x等于1时, 我们的y最大值是23/4 也等于5又4分之3 实际上,让我写成 我就这么写吧 23/4 它是一个开口向下的抛物线 那么,让我们开始画它。 我们在这画一个坐标轴。 我们必须得画到5又3/4的值。 所以 让我们把这个设成y,这是我们的y轴。 这是x轴。 这是x轴。 我们会看到,这是1。 这里是1,这里是2。 然后我想, 如果我找到5又3/4 让我们往上 1、2、3、4 5、6、7 我们可以把它们标出来 1、2、3、4 5、6、7 然后我们的顶点就在这里。 (1,23/4) 那是5又3/4。 就在这里 这样就可以了 正如我们所说过的,因为我们有负值 在这个(x-1)的平方的前面, 我想我们可以称它为 一个开口向下的抛物线。 这里就是最大点 所以我们实际的抛物线 就会像这样 像我画的这样。 像我画的这样。 显然,我在空手画它, 所以它不是完美的, 但希望你能够大概理解 这个抛物线 是什么样子,让我先画一部分吧, 因为我实际上还并不知道 这个抛物线的太多信息。 我就先这么画吧。 所以我们现在还不知道 准线和焦点在哪里, 但是我们已知一些信息。 焦点将会在, 我想你可以说,焦点有和顶点一样的x值 所以如果我们画它,这是x等于1, 如果x等于1,我们可以从我们 以往求解焦点的经验中得知, 它们将于顶点 位于同一轴上。 那么焦点可能 会在这里,然后准线 在另一边将是等距的, 在另一边等距。 所以准线是像这条线一样的。 可能在这里。 我现在还不太清楚准确位置, 但是我们现在已知的是,因为这个点 这个顶点,在抛物线上, 那么根据定义, 它到焦点和准线的距离是等距的。 所以 这段距离必须和 上面这段距离是相等的 另一种关于这一整段距离 的思考方式是什么呢? 记住,这里的坐标轴 是(a,b)以及这条线是 y等于k 这是y=k。 所以这段黄颜色的距离是什么呢? 这里y的差值又代表什么呢? 好了,你可以称之为,在这个情况下 准线在焦点的上面, 所以你可以说这就是k 减去b 或者你可以说它是(b-k) 的绝对值。 这个说法实际上也是对的。 它距离总是正的。 那么如果我们知道(b-k) 如果我们知道这段距离,那么 将它一分为二,准线将是 上面的这段距离 然后焦点是在下面的距离。 让我们看看现在我们能否解决这个问题。 我们可以解决这个问题因为当我们 看这个方程, 你可以看到里面的(b-k) 1/2乘以(b-k) 必须等于-1/3。 让我们求解b-k 我们得到 1/2乘以(b-k) 等于-1/3。 再强调一次,1/2乘以(b-k)对应到-1/3 它等于-1/3。 我们可以两边乘以各自的倒数 然后我们得到2乘以(b-k) 等于 等于3。 现在我们可以两边同时 两边同时除以2 那么我们将得到 我们将得到 b-k等于 等于3/2。 b-k等于, 让我确认下,是-3/2 所以这个必须是-3/2 所以如果你取b-k的绝对值 你会得到正的3/2 或者你用k-b 你将得到正的3/2 就像这样,用这一部分, 刚好对应上这个方程 里的-3/2, 我们就可以解 b-k的绝对值,也就是 在y轴的方向上 焦点与准线的距离。 所以这里的这段距离 是3/2。 那么这段距离的一半是什么呢? 我在意这段距离的一半的原因是 这样我就能计算出 焦点在哪里,因为焦点的距离是 顶点下面的那一半距离 然后我可以说不管下面这段距离 是多少,它也等于 上面这一段准线的距离。 所以这段距离的一半是, 1/2乘以3/2 等于3/4。 那么就像这样,我们可以解出 准线将比这个顶点高3/4 所以我可以说准线,让我看一下, 我没地方写了, 准线将是y等于 焦点的y坐标 对不起说错了,是顶点的y坐标 我需要注意我的用词。 它就等于顶点的y坐标 加上3/4 所以加3/4,等于26/4, 也就等于, 等于6.5。 所以这里, 我画得很接近 也就是准线。 y等于6.5 我们只知道焦点的x坐标 将等于1 b将比准线的y坐标 少3/4。 所以23/4减3/4。 是23/4 23/4减3/4 也就是20/4, 刚好等于5。 我们解完了。 这是焦点 ,(1,5) 准线是y=6.5。