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主要内容

视频字幕

这个视频中,我会讲解两个与抛物线相关的概念。 一个是焦点。 一个是抛物线的焦点, 另一个是准线。 这两个词到底是什么? 抛物线可以被定义为一类点的集合, 我来画两个坐标轴。 垂直的是y轴,水平的是x轴。 这是x轴。 抛物线可以被定义为 点的集合,这个集合中所有的点 到一个定点和一条定直线的距离是相等的。 这个定点就是抛物线的焦点, 这条定直线就是抛物线的准线。 这么说可能不太好理解。 我们在这个坐标系里选一个点。 这个蓝点。 不妨设这个点的横坐标是a, 纵坐标是b。 那么这个点就是(a,b)。 然后再选定一条直线作为准线。 我换一种颜色来表示准线, 我已经用白色画过坐标轴了,准线就不用白色了。 我用紫红色。 现在(a,b)是焦点。 设 y = c 为准线。 就是这条直线, y = c 就是这条直线。 它和y轴的交点的纵坐标是c, 这条直线的表达式就是 y = c。 回到抛物线的定义上来, 到一个定点和一条定直线距离相等的点的集合是什么意思? 先想想哪些点可能在这个集合里。 首先是这个黄色的点, 它位于焦点和准线的正中间。 接着从 x = a 出发, 这个弧线上的点都在上述集合中, 这个弧线就是抛物线。 你可能会对此感到困惑, 不明白为什么这个弧线上的点到焦点和准线的距离相等。 我们来目测一下距离。 首先看这段 这个图是手绘的 所以不是非常精准, 黄色的点到(a,b)的距离与其到 y = c 的距离应该是相等的。 这看起来还是比较准确的。 再来看看抛物线上这个绿色的点, 它到(a,b)的距离和它到准线的距离也应该是相等的。 这个看起来也比较准确。 再看这个点, 这两段的距离 也应该是相等的。 现在或许你们能够明白 “抛物线是到焦点和准线的距离相等的点的集合”这个定义是什么意思了。 这条抛物线上的任意一点, 比如这个点, 都满足到焦点的距离等于到准线的距离 现在你可能意识到, 当你度量点与点之间的距离时, 这两点为端点构成的线段可能跟垂直于准线的直线呈一定角度。 这条线段垂直于准线, 而这条线段是从左上到右下。 但是当你衡量点到直线的距离时, 你是在作垂线, 这幅图中是向下作垂线, 或者当抛物线开口朝下时向上作垂线, 测量垂线段的长度从而得到点到直线的距离 这些都是直角。 以上就是焦点和准线的概念。 每条抛物线都有一个焦点和一条准线, 因为抛物线的定义就是 到某个焦点和某条准线距离相等的点的集合。 这是它的定义所决定的。 在之后的视频中,我们会讲到 如何将抛物线的焦点和准线 和抛物线的方程式联系起来。