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代数2

课程: 代数2 > 单元 2

课程 5: 复数乘法
数学
代数2
复数
复数乘法
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复数乘法

Google课堂
了解如何将两个复数相乘。例如, (1 + 2 i)⋅(3 + i)。
复数是任何可以写成 start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i 形式的数，其中 i 是虚数单位，start color #1fab54, a, end color #1fab54 和 start color #11accd, b, end color #11accd 是实数。
进行复数乘法时，记住我们进行实数运算的计算法则对复数也适用。
有时候，把 i 想象成一个变量，如 x，很有用。然后，只需要在最后几步做一些调整，我们就能如期进行乘法运算。让我们通过几个例题来仔细研究。

实数乘以复数

例题

解 minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis 乘积。用 a, plus, b, i 形式写出答案。

解法

如果你本能的要用乘法分配律分配 minus, 4，那就对了！我们就这么做！
−4(13+5i)=−4(13)+(−4)(5i)=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
就是这样！我们用了乘法分配律来进行实数和复数的乘法运算。我们试试增加难度。

纯虚数乘以复数

例题

求 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis 的乘积。用 a, plus, b, i 形式写出答案。

解法

同样，将 2, i 分配到括号内的每一项。
2i(3−8i)=2i(3)−2i(8i)=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
目前答案还不是以 a, plus, b, i 形式表达，因为含有 i, squared。
但我们知道 start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10，将其代入看看结果。
2i(3−8i)=6i−16i2=6i−16(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
运用乘法交换律将答案写为 16, plus, 6, i，因此 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i。

练习

问题 1

求 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis 乘积。
用 a, plus, b, i 形式写出答案。

问题 2

求 minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis 乘积。
用 a, plus, b, i 形式写出答案。

棒极了！现在我们做好准备再进一步！下面是求解复数乘积更典型的例题：

两个复数相乘

例题

求 left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis 乘积。用 a, plus, b, i 形式写出答案。

解法

做这题时，有些人发现把 i 想象成为一个变量有助解题。
事实上，这两个复数相乘的过程和二项式乘法非常相似！将第一个数里的每一项乘以第二个数里的每一项。
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
因为 start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10，将 minus, 1 代入 i, squared 获得要求的答案形式 a, plus, b, i。
(1−5i)(−6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

检查你对内容的理解

问题 3

求 left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis 乘积。
用 a, plus, b, i 形式写出答案。

问题 4

求 left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis 乘积。
用 a, plus, b, i 形式写出答案。

问题 5

求 left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis 乘积。
用 a, plus, b, i 形式写出答案。

问题 6

求 left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis 乘积。
用 a, plus, b, i 形式写出答案。

挑战题

问题 1

设 a 和 b 为实数。求 left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis？

问题 2

进行所示运算并简化。left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
用 a, plus, b, i 形式写出答案。

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