复数介绍 (文章) | 什么是复数？

在实数系统中，方程

x^{2} = - 1

没有解。在本课中, 我们将研究一个新的数字系统，其中方程确实有一个解。

这个新数字系统的主干是

i

，也被称为虚数单位。

$i^{2} = - 1$ ‍
$\sqrt{- 1} = i$ ‍

通过乘以这个虚数单位的倍数，我们可以创造出更多的新数字，像

3 i

，

i \sqrt{5}

，和

- 12 i

。这些都是虚数。

但是，我们可以更进一步，添加实数和虚数。例如，

2 + 7 i

和

3 - \sqrt{2} i

。这些组合叫做复数。

复数定义

复数是任何可以写成

a + b i

形式的数，其中

i

是虚数单位，

a

和

b

是实数。

\begin{array}{ccc} a & + & b i \\ ↑ & ↑ \\ 实数 & 虚数 \\ 部分 & 部分 \end{array}

a

叫做数字的 $实数$ ‍ 部分,

b

叫做数字的 $虚数$ ‍ 部分.

下表给出了一些复数例子，并指明了实部和虚部。一些同学可能觉得当复数是标准形式的时候更容易识别实部和虚部。

复数	标准形式 $a + b i$ ‍	每部分的解释
$7 i - 2$ ‍	$- 2 + 7 i$ ‍	实部是 $- 2$ ‍ 虚部是 $7$ ‍.
$4 - 3 i$ ‍	$4 + (- 3) i$ ‍	实部是 $4$ ‍ 虚部是 $- 3$ ‍
$9 i$ ‍	$0 + 9 i$ ‍	实部 $0$ ‍ 虚部是 $9$ ‍
$2$ ‍	$- 2 + 0 i$ ‍	实部是 $- 2$ ‍ 虚部是 $0$ ‍

检查你对内容的理解

问题1

$13.2 i + 1$ ‍的实部是几？

问题2

$21 - 14 i$ ‍的虚部是几？

问题3

$17 i$ ‍的实部是几？

复数的分类

我们已经知道实数是什么，我们刚刚又确定了复数的定义。现在让我们回去给虚数一个适当的定义。

一个虚数是当一个复数 $a+bi$ ‍ 中 $a=0$ ‍.

同样，我们可以说实数是当一个复数 $a+bi$ ‍ 中 $b=0$ ‍.

从第一个定义来看，我们可以得出结论，任何虚数也是一个复数。从第二个定义来看，我们可以得出结论，任何实数也是一个复数。

此外，还有的复数，既不是实数，也不是虚数，如

4 + 2 i

。

\begin{matrix} 复数 \\ \begin{array}{lcr} 4 + 2 i & - 3 - \sqrt{5} i \end{array} \\ \begin{matrix} 实数 \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} & - 12.2 & 3 \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 虚数 \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} i & - 12.2 i & 3 i \end{array} \end{matrix} \end{matrix}

反思题

下列陈述正确还是错误？

任何复数不是实数就是虚数.

例题

在下表中，我们将几个数字类型进行分类：实数，纯虚数和/或复数。

	$\begin{aligned} 实数 \\ (b = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} 虚数 \\ (a = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} 复数 \\ (a + b i) \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} 7 + 8 i \\ (7 + 8 i) \end{aligned}$ ‍			X
$\begin{aligned} \sqrt{3} \\ (\sqrt{3} + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} 1 \\ (1 + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} - 1.3 i \\ (0 + (- 1.3) i) \end{aligned}$ ‍		X	X
$\begin{aligned} 100 i \\ (0 + 100 i) \end{aligned}$ ‍		X	X

请注意，在表中，列出的所有数字都是复数！一般来说，这是成立的！

练习

问题 4

$- 2 + 3 i$ ‍是什么类型的数？

问题5

$10.2$ ‍是什么类型的数？

问题6

$- 17 i$ ‍是什么类型的数？

为什么这些数字这么重要？

我们到底为什么要学习复数？信不信由你，复数有许多的应用，比如电子工程和量子力学。

从纯数学的角度来看，一个非常酷的事情是复数可以解出任何多项式方程。

比如，多项式方程

x^{2} - 2 x + 5 = 0

没有实数解或者纯虚数解。但是，它有两个复数解，

1 + 2 i

和

1 - 2 i

。

在我们继续学习数学的过程中，我们会更多地了解这些数，以及它们的应用。

课程: 代数2 > 单元 2

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