主要内容
复数介绍
了解复数是什么,以及它们实数和虚数的部分。
在实数系统中,方程x, squared, equals, minus, 1 没有解。在本课中, 我们将研究一个新的数字系统,其中方程确实有一个解。
这个新数字系统的主干是i,也被称为虚数单位。
通过乘以这个虚数单位的倍数,我们可以创造出更多的新数字,像3, i, i, square root of, 5, end square root,和minus, 12, i。这些都是虚数。
但是,我们可以更进一步,添加实数和虚数。例如,2, plus, 7, i和3, minus, square root of, 2, end square root, i。这些组合叫做复数。
复数定义
复数是任何可以写成 start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i 形式的数,其中 i 是虚数单位,start color #1fab54, a, end color #1fab54 和 start color #11accd, b, end color #11accd 是实数。
start color #1fab54, a, end color #1fab54 叫做数字的 start color #1fab54, start text, 实, 数, end text, end color #1fab54 部分, start color #11accd, b, end color #11accd 叫做数字的 start color #11accd, start text, 虚, 数, end text, end color #11accd 部分.
下表给出了一些复数例子,并指明了实部和虚部。一些同学可能觉得当复数是标准形式的时候更容易识别实部和虚部。
复数 | 标准形式start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i | 每部分的解释 |
---|---|---|
7, i, minus, 2 | start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, i | 实部是 start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 虚部是start color #11accd, 7, end color #11accd. |
4, minus, 3, i | start color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, i | 实部是start color #1fab54, 4, end color #1fab54 虚部是 start color #11accd, minus, 3, end color #11accd |
9, i | start color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i | 实部 start color #1fab54, 0, end color #1fab54 虚部是 start color #11accd, 9, end color #11accd |
2 | start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i | 实部是start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 虚部是start color #11accd, 0, end color #11accd |
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复数的分类
我们已经知道实数是什么,我们刚刚又确定了复数的定义。 现在让我们回去给虚数一个适当的定义。
一个虚数是当一个复数start text, a, plus, b, i, end text 中start text, a, =, 0, end text.
同样,我们可以说实数是当一个复数start text, a, plus, b, i, end text 中start text, b, =, 0, end text.
从第一个定义来看,我们可以得出结论,任何虚数也是一个复数。 从第二个定义来看,我们可以得出结论,任何实数也是一个复数。
此外,还有的复数,既不是实数,也不是虚数,如 4, plus, 2, i。
反思题
例题
在下表中,我们将几个数字类型进行分类:实数,纯虚数和/或复数。
X | ||||
X | X | |||
X | X | |||
X | X | |||
X | X |
请注意,在表中,列出的所有数字都是复数!一般来说,这是成立的!
练习
为什么这些数字这么重要?
我们到底为什么要学习复数?信不信由你,复数有许多的应用,比如电子工程和量子力学。
从纯数学的角度来看,一个非常酷的事情是复数可以解出任何多项式方程。
比如,多项式方程x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0没有实数解或者纯虚数解。但是,它有两个复数解,1, plus, 2, i和1, minus, 2, i。
在我们继续学习数学的过程中,我们会更多地了解这些数,以及它们的应用。