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主要内容

代数2

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课程 2: 什么是复数？
数学
代数2
复数
什么是复数？
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复数介绍

Google课堂
了解复数是什么，以及它们实数和虚数的部分。
在实数系统中，方程x, squared, equals, minus, 1 没有解。在本课中, 我们将研究一个新的数字系统，其中方程确实有一个解。
这个新数字系统的主干是i，也被称为虚数单位。
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
通过乘以这个虚数单位的倍数，我们可以创造出更多的新数字，像3, i， i, square root of, 5, end square root，和minus, 12, i。这些都是虚数。
但是，我们可以更进一步，添加实数和虚数。例如，2, plus, 7, i和3, minus, square root of, 2, end square root, i。这些组合叫做复数。

复数定义

复数是任何可以写成 start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i 形式的数，其中 i 是虚数单位，start color #1fab54, a, end color #1fab54 和 start color #11accd, b, end color #11accd 是实数。
a+bi↑↑i实数虚数部分部分\begin{array}{ccc} \Large\greenD a&\Large+&\Large \blueD bi \\ \uparrow&&\uparrow\phantom{i} \\ \text{实数}&&\text{虚数} \\ \text{部分}&&\text{部分} \end{array}
start color #1fab54, a, end color #1fab54 叫做数字的 start color #1fab54, start text, 实, 数, end text, end color #1fab54 部分, start color #11accd, b, end color #11accd 叫做数字的 start color #11accd, start text, 虚, 数, end text, end color #11accd 部分.
下表给出了一些复数例子，并指明了实部和虚部。一些同学可能觉得当复数是标准形式的时候更容易识别实部和虚部。
复数标准形式start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i每部分的解释
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, i实部是 start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 虚部是start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, i实部是start color #1fab54, 4, end color #1fab54 虚部是 start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i实部 start color #1fab54, 0, end color #1fab54 虚部是 start color #11accd, 9, end color #11accd
2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i实部是start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 虚部是start color #11accd, 0, end color #11accd

检查你对内容的理解

问题1
13, point, 2, i, plus, 1的实部是几？
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题2
21, minus, 14, i的虚部是几？
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题3
17, i的实部是几？
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

复数的分类

我们已经知道实数是什么，我们刚刚又确定了复数的定义。 现在让我们回去给虚数一个适当的定义。
一个虚数是当一个复数start text, a, plus, b, i, end text 中start text, a, =, 0, end text.
同样，我们可以说实数是当一个复数start text, a, plus, b, i, end text 中start text, b, =, 0, end text.
从第一个定义来看，我们可以得出结论，任何虚数也是一个复数。 从第二个定义来看，我们可以得出结论，任何实数也是一个复数。
此外，还有的复数，既不是实数，也不是虚数，如 4, plus, 2, i。
复数4+2i−3−5i实数5−12.23虚数5i−12.2i3i\purpleD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{复数} \\\\ \begin{array}{lcr} 4+2i&&-3-\sqrt 5 i \end{array} \\\\ \goldD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{实数} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5&-12.2&3 \end{array} \end{array}}} \\\\ \maroonD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{虚数} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5 i&-12.2i&3i \end{array} \end{array}}} \end{array}}}

反思题

下列陈述正确还是错误？
任何复数不是实数就是虚数.
选出正确答案：

例题

在下表中，我们将几个数字类型进行分类：实数，纯虚数和/或复数。
实数(b=0)\begin{aligned}&\text{实数}\\&(b=0)\end{aligned}虚数(a=0)\begin{aligned}&\text{虚数}\\&(a=0)\end{aligned}复数(a+bi)\begin{aligned}&\text{复数}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
−1.3i(0+(−1.3)i)\begin{aligned}&-1.3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1.3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
请注意，在表中，列出的所有数字都是复数！一般来说，这是成立的！

练习

问题 4
minus, 2, plus, 3, i是什么类型的数？
选择所有正确的答案:

问题5
10, point, 2是什么类型的数？
选择所有正确的答案:

问题6
minus, 17, i是什么类型的数？
选择所有正确的答案:

为什么这些数字这么重要？

我们到底为什么要学习复数？信不信由你，复数有许多的应用，比如电子工程和量子力学。
从纯数学的角度来看，一个非常酷的事情是复数可以解出任何多项式方程。
比如，多项式方程x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0没有实数解或者纯虚数解。但是，它有两个复数解，1, plus, 2, i和1, minus, 2, i。
在我们继续学习数学的过程中，我们会更多地了解这些数，以及它们的应用。

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