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主要内容

虚数介绍

学习虚数单位 i,虚数,以及负数的平方根。
在数学学习过程中,你可能已经注意到有一些一元二次方程没有实数解。
比如,你可以试一试,你无法找到方程 x2=1实数解。这是因为一个实数的平方不能为一个负数。
但是,方程 x2=1的解在一个新的数字系统中是存在的,这个数字系统叫做复数系统

虚数单位

这个新的数字系统的主干是 虚数单位 , 或数字 i
对于数字 i, 以下是正确的:
  • i=1
  • i2=1
第二个属性告诉我们数字i的确是等式x2=1的一个解。本来无解的方程现在可以通过加入虚数单位而得到方程的解。

纯虚数

数字 i 绝非仅此而已!通过这个虚数单位的倍数,我们可以创造无限多的 纯虚数
例如,3ii5, 和 12i 都是纯虚数。任何形式为 bi并且b为非零实数的数,都是纯虚数。
通过这些数字的平方,我们可以发现虚数和实数的关系。比如3i的平方。整数部分的性质不变,所以我们可以用以下方法对3i进行平方运算。
(3i)2=32i2=9i2
利用 i2=1,我们可以进一步化简。
(3i)2=9i2=9(1)=9
事实上,(3i)2=9意味着3i9的一个平方根。

看看你的知识掌握地如何

(4i)2是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

以下哪个是16的一个平方根?
选出正确答案:

这样,我们可以发现纯虚数是负数的平方根。

化简纯虚数

下表显示了未化简和已化简形式的纯虚数示例。
未化简形式已化简形式
93i
5i5
14412i
但是我们如何化简这些纯虚数呢?
让我们仔细观察第一个例子, 看看我们是否可以完全理解化简过程。
原始的等价思考过程
9=3i9 的平方根是一个虚数。 9 开方是 3,所以 9开方是 3 虚数单位,即 3i
以下性质用数学语言解释了上面的“思考过程”。
对于 a>0, a=ia
如果我们把这一点和我们已经知道的简化基,我们可以化简所有纯虚数。让我们来看一个例子。

例题

化简 18

解法

首先注意到 18是一个虚数,因为这是一个负数的平方根。所以我们可以把18改写为i18
接下来,我们可以化简18
步骤如下所示。
18=i18对于 a>0a=ia=i929 是18的一个完全平方因数 =i92 当 a,b0ab=ab=i329=3=3i2乘法交换律
因此,18=3i2

练习

问题 1

化简 25.

问题 2

化简 10.

问题 3

化简 24.

我们到底为什么需要虚数?

答案很简单。虚数单位 i 允许我们找到许多没有实数解的等式的解。
这看起来很奇怪, 但是在一个数字系统中, 等式是不可解的, 但在另一个更通用的数字系统中却是可以解决的。这种情况非常常见。
下面是一些你可能更熟悉的例子。
  • 只有自然数,我们不能解出 x+8=1;我们需要整数来解这个方程!
  • 只有整数,我们不能解出3x1=0;我们需要有理数来解这个方程!
  • 只有有理数,我们不能解出x2=2。进入无理数和实数的系统。
因子,只有实数,我们不能解出x2=1。我们需要虚数来解这个方程!
在你进一步学习数学的过程中,你会发现这些数字的重要性。

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