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主要内容

复合函数建模:例2

油罐中的油量是时间的函数,小萨为其建模。油量是燃油深度的函数,燃油深度又是时间的函数,小萨将这两个函数复合起来得到油量与时间的函数关系。 Sal Khan 创建

视频字幕

画外音:题目中一个油罐正被泵入燃料 公式中,罐内燃料的容积V 取决于深度d V(d)=4(3d^2+5)^3 V(d)=4(3d^2+5)^3 深度d的单位是米 假设燃料的深度d 根据公式取决于以小时为单位的 时间 d(t)=1/√3 ×√t-5 这是合理的,假设我在加燃料 如果我把某种燃料泵入一个储存罐 那我加进去的 燃料深度 就是由加燃料的时间决定的 而燃料的容积又取决于燃料的深度 用公式编辑器写出 罐中燃料容积关于时间的函数 并尽可能简化你的答案 让我把草稿板清理好 我已经把题目中已知信息写下来了 这是容积关于深度的函数 这是深度关于时间的函数 如果我们要得到容积关于时间的函数 我们实际上要做的 是找出容积 与深度、进而与时间的关系 现在题目给了我们容积关于时间的函数 无论何时看到d 我就可以用这个 d与时间关系的函数来代替它 我们就这样做 V(d)= 4×3d^2 这里可以不写d^2 我就直接把它代入进这里 1/√3 ×√t-5 这一部分整个平方起来 +5)^3 希望这部分能化简成易懂的形式 我们来看,我把这个复制粘贴下来 这样就能空出更多地方来 把这个粘贴下来,这样就能继续打草稿了 好,计算 这一部分 我们来看这部分乘方的结果 可以把它们全算出来 这就等于4×3 乘以这一部分的平方 (1/√3)^2 =1/3 (√t-5)^2 =t-5 然后还有加5和三次方计算 我们来看,3×1/3 =1 剩下的就等于 4×(t-5)+5 化简得确实不错 再+5 我们剩的就是4×t ^3 我们把这个代入V(t)的函数里 这里再说明一下 现在函数中的容积V 变成了关于时间的函数 我们现在可以管它叫V(t) V(t)=4t^3 重申一次,这是容积关于时间的函数 给定一个时间,就能求出容积 4t^3 4乘以t的三次方 我刚才可能有口误 有些时候难免出差错 我是说4t^3 这里写出来确实没错 这道题还有第二部分 问两个小时后 罐中燃料容积是多少立方米 并把结果近似到十分位 两个小时后,也就是说t=2 t的单位就是小时 当t=2时 容积就等于2^3=8 8×4=32 我们来检验一下,答案是正确的