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课程: 代数2 > 单元 1

课程 1: 函数的合并

函数的加减法

请参阅如何相加或相减两个函数以创建新函数。

正如我们可以对数字作加减一样，我们也可以加减函数。比如，如果有两个函数

f

和

g

，我们可以得到两个新函数：

f + g

和

f - g

。

两个函数相加

例题

我们举一个例子来理解函数的相加。

假设

f (x) = x + 1

且

g (x) = x^{2} - 2 x + 5

，求

(f + g) (x)

。

解法

混合函数最难的部分就在于理解符号。

(f + g) (x)

是什么意思？

(f + g) (x)

的意思就是指求

f (x)

与

g (x)

的和。从数学上讲，就是指

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

。

现在，问题就变得不陌生了。

\begin{aligned} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) 定义。 \\ = (x + 1) + (x^{2} - 2 x + 5) 代入。 \\ = x + 1 + x^{2} - 2 x + 5 去括号。 \\ = x^{2} - x + 6 合并同类项。 \end{aligned}

我们可以通过图像来观察这一点。

以下是

y = f (x)

、

y = g (x)

和

y = (f + g) (x)

的函数图形。

从第一个图形中，我们可以看到

f (2) = 3

且

g (2) = 5

。从第二个图形中，我们可以看到

(f + g) (2) = 8

。

所以，

f (2) + g (2) = (f + g) (2)

，因为

3 + 5 = 8

。

现在，你可以自己试试。告诉自己，

f (1) + g (1) = (f + g) (1)

。

计算每个算式。

f (1) =

g (1) =

(f + g) (1) =

我们试着练习几道题目。

在习题1和2种，设

a (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2

且

b (x) = x^{2} + 8 x - 10

。

问题 1

求 $(a + b) (x)$ ‍。

\begin{aligned} (a + b) (x) & = a (x) + b (x) 定义。 \\ = (3 x^{2} - 5 x + 2) + (x^{2} + 8 x - 10) 代入。 \\ = 3 x^{2} - 5 x + 2 + x^{2} + 8 x - 10 去括号。 \\ = 4 x^{2} + 3 x - 8 合并同类项。 \end{aligned}

问题 2

计算 $(a + b) (- 1)$ ‍。

有两种方法来求

(a + b) (- 1)

。

方法1： 求

(a + b) (x)

并计算

x = - 1

时候的值。

我们在上一道题中求

(a + b) (x) = 4 x^{2} + 3 x - 8

。现在代入

x = - 1

。

$\begin{aligned} (a + b) (x) & = 4 x^{2} + 3 x - 8 \\ (a + b) (- 1) & = 4 (- 1)^{2} + 3 (- 1) - 8 \\ = 4 - 3 - 8 \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

方法2： 求

a (- 1)

和

b (- 1)

并将两个结果相加。

首先，求

a (- 1)

的值：

$\begin{aligned} a (x) & = 3 x^{2} - 5 x + 2 \\ a (- 1) & = 3 (- 1)^{2} - 5 (- 1) + 2 \\ = 3 + 5 + 2 \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

现在，求

b (- 1)

：

$\begin{aligned} b (x) & = x^{2} + 8 x - 10 \\ b (- 1) & = (- 1)^{2} + 8 (- 1) - 10 \\ = 1 - 8 - 10 \\ = - 17 \end{aligned}$ ‍

所以我们得到：

$\begin{aligned} (a + b) (- 1) & = a (- 1) + b (- 1) \\ = 10 + (- 17) \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

因为我们在上一题中求

(a + b) (x)

，方法1可能更有效。

两个函数相减

两个函数相减类似。这里有一个例子：

例题

p (t) = 2 t - 1

且

q (t) = - t^{2} - 4 t - 1

。

我们求

(q - p) (t)

。

解法

一样，这里最复杂的部分还是对符号的理解。但是学习过相加的例子后，就能知道

(q - p) (t)

的意思。

通过定义，

(q - p) (t) = q (t) - p (t)

。我们现在可以来解题。

\begin{aligned} (q - p) (t) \\ = q (t) - p (t) 定义。 \\ = (- t^{2} - 4 t - 1) - (2 t - 1) 代入。 \\ = - t^{2} - 4 t - 1 - 2 t + 1 改变负号。 \\ = - t^{2} - 6 t 合并同类项。 \end{aligned}

所以

(q - p) (t) = - t^{2} - 6 t 。

我们试着练习几道题目。

问题 3

j (n) = 3 n^{3} - n^{2} + 8

k (n) = - 8 n^{2} + 3 n - 5

求 $(j - k) (n)$ ‍。

$\begin{aligned} (j - k) (n) & = j (n) - k (n) 定义。 \\ = (3 n^{3} - n^{2} + 8) - (- 8 n^{2} + 3 n - 5) 代入。 \\ = 3 n^{3} - n^{2} + 8 + 8 n^{2} - 3 n + 5 改变负号。 \\ = 3 n^{3} + 7 n^{2} - 3 n + 13 合并同类项。 \end{aligned}$ ‍

问题 4

g (x) = 4 x^{2} - 7 x + 2

h (x) = 2 x - 5

计算 $(h - g) (3)$ ‍。

有两种方法来求

(h - g) (3)

。

方法1： 求

h (3)

和

g (3)

并将两个结果相减。

首先，求

h (3)

的值：

$\begin{aligned} h (x) & = 2 x - 5 \\ h (3) & = 2 (3) - 5 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

现在，求

g (3)

：

$\begin{aligned} g (x) & = 4 x^{2} - 7 x + 2 \\ g (3) & = 4 (3)^{2} - 7 (3) + 2 \\ = 36 - 21 + 2 \\ = 17 \end{aligned}$ ‍

于是得到：

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = h (3) - g (3) \\ = 1 - 17 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

方法2： 秋

(h - g) (x)

并计算

x = 3

时的值。

$\begin{aligned} (h - g) (x) & = (2 x - 5) - (4 x^{2} - 7 x + 2) \\ = 2 x - 5 - 4 x^{2} + 7 x - 2 \\ = - 4 x^{2} + 9 x - 7 \end{aligned}$ ‍

当

x = 3

时，我们得到：

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = - 4 (3)^{2} + 9 (3) - 7 \\ = - 36 + 27 - 7 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

两种方法，我们都得到

(h - g) (3) = - 16

。

应用

一所学院表示，男生人数

M

，女生人数

W

，自1980年以来

t

年，被授予学士学位的人数可以用函数

M (t) = 526 - t

和

W (t) = 474 + 2 t

分别表示。

设

N

为1980年以来

t

年内，被授予学士学位的学生人数总和。

表示为 $N (t)$ ‍。

N (t) =

挑战题

y = f (x)

和

y = g (x)

的图形如下所示。

哪个是 $y = (f + g) (x)$ ‍ 的图形？

求

x

为特定值时

(f + g) (x)

。我们可以通过这个来选择正确的图形。我们代入

x = 4

。

\begin{aligned} (f + g) (4) & = f (4) + g (4) \\ = 4 + g (4) 因为 f (4) = 4 \\ = 4 + 0 因为 g (4) = 0 \\ = 4 \end{aligned}

所以

(f + g) (4) = 4

，就是说

y = (f + g) (x)

的图形必须通过点

(4, 4)

。因为只有图形

A

通过点

(4, 4)

，那么这一定是正确的图形。

以上解释是对

x = 4

的情形的，但你们可以用这种方法来解答

x

为任何值的情形。下表是

x

为几个不同值时的情形。

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$(f + g) (x)$ ‍
$- 8$ ‍	$- 8$ ‍	$0$ ‍	$- 8$ ‍
$- 6$ ‍	$- 6$ ‍	$1$ ‍	$- 5$ ‍
$- 4$ ‍	$- 4$ ‍	$0$ ‍	$- 4$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$- 3$ ‍
$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍
$2$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍
$4$ ‍	$4$ ‍	$0$ ‍	$4$ ‍
$6$ ‍	$6$ ‍	$- 1$ ‍	$5$ ‍
$8$ ‍	$8$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

所以，

y = (f + g) (x)

得图形必须穿过点

(- 8, - 8)

、,

(- 6, - 5)

、

(- 4, - 4)

、

(- 2, - 3)

、

(0, 0)

、

(2, 3)

、

(4, 4)

、

(6, 5)

以及

(8, 8)

。图形

A

符合这些要求。

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