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主要内容

函数的加减法

请参阅如何相加或相减两个函数以创建新函数。
正如我们可以对数字作加减一样,我们也可以加减函数。比如,如果有两个函数 fg,我们可以得到两个新函数:f, plus, gf, minus, g

两个函数相加

例题

我们举一个例子来理解函数的相加。
假设 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, plus, 5,求 left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis

解法

混合函数最难的部分就在于理解符号。 left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis 是什么意思?
left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis 的意思就是指求 f, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesis的和。从数学上讲,就是指left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis
现在,问题就变得不陌生了。
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             定义。=(x+1)+(x22x+5)        代入。=x+1+x22x+5                去括号。=x2x+6                                合并同类项。\begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x)+g(x) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{定义。}}}\\\\ &= \left(x+1\right)+\left(x^2-2x+5\right) ~~~~~~~~\small{\gray{\text{代入。}}}\\\\ &= x+1+x^2-2x+5~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{去括号。}}}\\\\ &=x^2-x+6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{合并同类项。}}} \end{aligned}

我们可以通过图像来观察这一点。

以下是 y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesisy, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesisy, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis 的函数图形。
从第一个图形中,我们可以看到 f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd。从第二个图形中,我们可以看到left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
所以, f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis ,因为 start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 5, end color #11accd, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
现在,你可以自己试试。告诉自己, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis
计算每个算式。
f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

我们试着练习几道题目。

在习题1和2种,设a, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 5, x, plus, 2b, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 8, x, minus, 10

问题 1

left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis

问题 2

计算left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

两个函数相减

两个函数相减类似。这里有一个例子:

例题

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 2, t, minus, 1q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 4, t, minus, 1
我们求 left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis

解法

一样,这里最复杂的部分还是对符号的理解。但是学习过相加的例子后,就能知道 left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis 的意思。
通过定义, left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, q, left parenthesis, t, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, t, right parenthesis 。我们现在可以来解题。
=(qp)(t)=q(t)p(t)定义。=(t24t1)(2t1)代入。=t24t12t+1改变负号。=t26t合并同类项。\begin{aligned} &\phantom{=}(q-p)(t) \\\\ &=q(t)-p(t)\quad\small{\gray{\text{定义。}}} \\\\ &= (-t^2-4t-1)-(2t-1)\quad\small{\gray{\text{代入。}}}\\\\ &=-t^2-4t-1-2t+1\quad\small{\gray{\text{改变负号。}}}\\\\ &=-t^2-6t \quad\small{\gray{\text{合并同类项。}}}\end{aligned}
所以 left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 6, t, 。

我们试着练习几道题目。

问题 3

j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, n, cubed, minus, n, squared, plus, 8
k, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 8, n, squared, plus, 3, n, minus, 5
left parenthesis, j, minus, k, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis

问题 4

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, squared, minus, 7, x, plus, 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5
计算 left parenthesis, h, minus, g, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

应用

一所学院表示,男生人数M,女生人数W,自1980年以来 t 年,被授予学士学位的人数可以用函数 M, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 526, minus, tW, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 474, plus, 2, t 分别表示。
N 为1980年以来 t 年内,被授予学士学位的学生人数总和。
表示为 N, left parenthesis, t, right parenthesis
N, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

挑战题

y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesisy, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis 的图形如下所示。
哪个是 y, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis 的图形?
选出正确答案:
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