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主要内容

代数2

课程: 代数2 > 单元 1

课程 1: 函数的合并
数学
代数2
函数
函数的合并
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合并同类项简介

Google课堂
了解我们可以将两个函数相加、相减、相乘或相除以构成一个新函数的想法。
正如我们可以加、减、乘、除数字一样，我们也可以对函数作加、减、乘、除。

两个函数相加

第一部分：将两个函数相加，得到一个新的函数

我们把 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 和 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x 相加，得到一个新的函数。
f(x)+g(x)=(x+1)+(2x)=x+1+2x =3x+1
我们称此为新函数 h。于是我们得到：
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 1

第二部分：计算一个整合的函数

我们还可以代入特定的值，计算整合函数的值。 我们代入 x, equals, 2 来计算函数 h 的值。有以下两种方式。
方法1： 在整合函数 h 中代入 x, equals, 2。
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7\begin{aligned}h(x)&=3x+1\\\\ h(2)&=3(2)+1\\\\ &=\greenD{7} \end{aligned}
方法2：计算 f, left parenthesis, 2, right parenthesis 和 g, left parenthesis, 2, right parenthesis ，然后把结果相加。
因为 h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis，我们还可以通过计算 f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis来求 h, left parenthesis, 2, right parenthesis。
首先，我们求 f, left parenthesis, 2, right parenthesis：
f(x)=x+1f(2)=2+1=3\begin{aligned}f(x)&= {x + 1}\\\\ f(2)&=2+1 \\\\ &=3\end{aligned}
现在，我们求 g, left parenthesis, 2, right parenthesis：
g(x)=2xg(2)=2⋅2=4\begin{aligned}g(x)&={2x}\\\\ g(2)&=2\cdot 2 \\\\ &=4\end{aligned}
所以f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, plus, 4, equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54。
注意，把 x, equals, 2 直接带入函数 h ，以及先求 f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis ，我们得到的结果是相同的！

现在我们试着练习几道题。

练习 1 和 2 中，f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2 且 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 3。

练习 1

求 f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis。

练习 2

计算 f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis。
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

图像联系

我们同样能通过观察函数的图像，理解两个函数相加的意义。
y, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis 与 y, equals, n, left parenthesis, x, right parenthesis 的图像如下所示。在第一个图像中，注意 m, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 2。第二个图像中，注意 n, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 5。
设 p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis。现在来看 y, equals, p, left parenthesis, x, right parenthesis的图像。注意 p, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, start color #7854ab, 7, end color #7854ab。
考考你自己，代入 x 不同的值，在三个图像中找出 p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis 的值。

我们来练习。

练习 3

y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis 以及 y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis的图像如下所示。
哪个数最接近 f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 3, right parenthesis的值？
选出正确答案：

求混合函数的其他方法

到目前为止，我们看到的几个例子都是通过把两个函数相加，得到一个混合函数。但是你还可以将两个函数相减、相乘以及相除，得到新的函数！
比如，如果 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 3 且 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 2，那么我们不仅能求和，还能……
……求差。
f(x)−g(x)=(x+3)−(x−2)       代入。=x+3−x+2             撤括号，调整加减号。=5                                  因式整合。\begin{aligned}f(x)-g(x)&=(x+3)-(x-2)~~~~~~~\small{\gray{\text{代入。}}}\\\\ &=x+3-x+2~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{撤括号，调整加减号。}}}\\\\ &=5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{因式整合。}}}\end{aligned}
……求积。
f(x)⋅g(x)=(x+3)(x−2)            代入。=x2−2x+3x−6        撤括号。=x2+x−6                   因式整合\begin{aligned}f(x)\cdot g(x)&=(x+3)(x-2)~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{代入。}}}\\\\ &=x^2-2x+3x-6~~~~~~~~\small{\gray{\text{撤括号。}}}\\\\ &=x^2+x-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{因式整合}}}\end{aligned}
……求商。
f(x)÷g(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x−2)                     代入。\begin{aligned}f(x)\div g(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\\\ &=\dfrac{(x+3)}{(x-2)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{代入。}}} \end{aligned}
这样，我们得到了三个新的函数！

挑战题

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, plus, 2
q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 1
r, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t
求 p, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, q, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, r, left parenthesis, 3, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, 3, right parenthesis。
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

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