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主要内容

代数2

课程: 代数2 > 单元 1

课程 1: 函数的合并
数学
代数2
函数
函数的合并
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乘法和除法函数

Google课堂
请参阅如何相乘或相除两个函数以创建新函数。
正如我们可以对数字作乘除一样，我们也可以乘除函数。比如，如果有两个函数 f 和 g，我们可以得到两个新函数： f, dot, g 和 start fraction, f, divided by, g, end fraction。

函数相乘

例题

我们举一个例子来理解函数的相乘。
假设 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 3 且 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1，求 left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis。

解法

混合函数最难的部分就在于理解符号。 left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis 是什么意思？
left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis 的意思就是指求 f, left parenthesis, x, right parenthesis 与 g, left parenthesis, x, right parenthesis的积。从数学上讲，就是指 left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis。
现在，问题就变得不陌生了。
(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)定义。=(2x−3)⋅(x+1)替换。=2x2+2x−3x−3分配。=2x2−x−3合并同类项。\begin{aligned} (f\cdot g)(x) &= f(x)\cdot g(x)&\gray{\text{定义。}} \\\\ &= \left(2x-3\right)\cdot\left(x+1\right) &\gray{\text{替换。}} \\\\ &= 2x^2+2x-3x-3&\gray{\text{分配。}} \\\\ &=2x^2-x-3&\gray{\text{合并同类项。}} \end{aligned}
注：为了使结果更加简明，我们简化了得出的结果，但是这不是必须的。

我们试着做几道题目。

问题1
c(y)=3y−4d(y)=3−2y\begin{aligned} &c(y)=3y-4 \\\\ &d(y)=3-2y \end{aligned}
求 left parenthesis, c, dot, d, right parenthesis, left parenthesis, y, right parenthesis.

问题2
m(x)=x2−3xn(x)=x−5\begin{aligned} &m(x)=x^2-3x \\\\ &n(x)=x-5 \end{aligned}
得出 left parenthesis, m, dot, n, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis的值。
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

方程的除法

方程的除法的解决方法和以上类似，下面是一个例子。

例题

h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, n, minus, 1 且 j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, n, plus, 3.
让我们找出left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis的值。

解法

通过定义，left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start fraction, j, left parenthesis, n, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, n, right parenthesis, end fraction。
现在我们就可以解决这个问题了。
(jh)(n)=j(n)h(n)定义。=n+32n−1替换。\begin{aligned} \left(\dfrac{j}{h}\right)(n)&=\dfrac{j(n)}{h(n)}&\gray{\text{定义。}} \\\\ &= \dfrac{n+3}{2n-1}&\gray{\text{替换。}} \end{aligned}
关于此方程需注意的两个要点：
  1. 这个方程已经化简。
  2. 变量 n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction 不是该方程的有效变量。 因为 当 n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction时，2, n, minus, 1, equals, 0 , 除数为 0 是未定义的。

让我们试着做一些练习

问题3
g(t)=t2−4h(t)=t+8\begin{aligned} &g(t)=t^2-4 \\\\ &h(t)=t+8 \end{aligned}
得出 left parenthesis, start fraction, g, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis的值。

问题 4
p(r)=5r−2q(r)=r+2\begin{aligned} &p(r)=5r-2 \\\\ &q(r)=r+2 \end{aligned}
得出left parenthesis, start fraction, p, divided by, q, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 4, right parenthesis的值。
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题5
f(x)=x+4g(x)=x−3\begin{aligned} &f(x)=x+4 \\\\ &g(x)=x-3 \end{aligned}
当x为何值时，left parenthesis, start fraction, f, divided by, g, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis无解？
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

应用

乔丹每天跑步的距离和时间取决于她健身的小时数。距离，即 D，单位是英里；时间，即她跑步的分钟数，这两个值可由以下两个函数表达 D, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 0, point, 5, h, plus, 8, point, 5 和 T, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 6, h, plus, 90。
让我们用函数 S 代表她每天跑 h 小时的平均跑步速度。
问题6
下面哪一项是函数 S 的正确表达？
选出正确答案：

挑战题
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis 和 y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis 的图形如下所示。
哪一个正确代表了y, equals, left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis的图像？
选出正确答案：

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