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课程: 代数2 > 单元 1

课程 1: 函数的合并

乘法和除法函数

请参阅如何相乘或相除两个函数以创建新函数。

正如我们可以对数字作乘除一样，我们也可以乘除函数。比如，如果有两个函数

f

和

g

，我们可以得到两个新函数：

f \cdot g

和

\frac{f}{g}

。

函数相乘

例题

我们举一个例子来理解函数的相乘。

假设

f (x) = 2 x - 3

且

g (x) = x + 1

，求

(f \cdot g) (x)

。

解法

混合函数最难的部分就在于理解符号。

(f \cdot g) (x)

是什么意思？

(f \cdot g) (x)

的意思就是指求

f (x)

与

g (x)

的积。从数学上讲，就是指

(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)

。

现在，问题就变得不陌生了。

\begin{aligned} (f \cdot g) (x) & = f (x) \cdot g (x) & 定义。 \\ = (2 x - 3) \cdot (x + 1) & 替换。 \\ = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 & 分配。 \\ = 2 x^{2} - x - 3 & 合并同类项。 \end{aligned}

注：为了使结果更加简明，我们简化了得出的结果，但是这不是必须的。

我们试着做几道题目。

问题1

\begin{aligned} c (y) = 3 y - 4 \\ d (y) = 3 - 2 y \end{aligned}

求 $(c \cdot d) (y)$ ‍.

问题2

\begin{aligned} m (x) = x^{2} - 3 x \\ n (x) = x - 5 \end{aligned}

得出 $(m \cdot n) (- 1)$ ‍的值。

方程的除法

方程的除法的解决方法和以上类似，下面是一个例子。

例题

h (n) = 2 n - 1

且

j (n) = n + 3

让我们找出

(\frac{j}{h}) (n)

的值。

解法

通过定义，

(\frac{j}{h}) (n) = \frac{j (n)}{h (n)}

。

现在我们就可以解决这个问题了。

\begin{aligned} (\frac{j}{h}) (n) & = \frac{j (n)}{h (n)} & 定义。 \\ = \frac{n + 3}{2 n - 1} & 替换。 \end{aligned}

关于此方程需注意的两个要点：

这个方程已经化简。
变量 $n = \frac{1}{2}$ ‍ 不是该方程的有效变量。因为当 $n = \frac{1}{2}$ ‍时， $2 n - 1 = 0$ ‍ , 除数为 $0$ ‍ 是未定义的。

让我们试着做一些练习

问题3

\begin{aligned} g (t) = t^{2} - 4 \\ h (t) = t + 8 \end{aligned}

得出 $(\frac{g}{h}) (t)$ ‍的值。

问题 4

\begin{aligned} p (r) = 5 r - 2 \\ q (r) = r + 2 \end{aligned}

得出 $(\frac{p}{q}) (4)$ ‍的值。

问题5

\begin{aligned} f (x) = x + 4 \\ g (x) = x - 3 \end{aligned}

当 $x$ ‍为何值时， $(\frac{f}{g}) (x)$ ‍无解？

应用

乔丹每天跑步的距离和时间取决于她健身的小时数。距离，即

D

，单位是英里；时间，即她跑步的分钟数，这两个值可由以下两个函数表达

D (h) = - 0.5 h + 8.5

和

T (h) = - 6 h + 90

。

让我们用函数

S

代表她每天跑

h

小时的平均跑步速度。

问题6

下面哪一项是函数 $S$ ‍ 的正确表达？

挑战题

y = f (x)

和

y = g (x)

的图形如下所示。

哪一个正确代表了 $y = (f \cdot g) (x)$ ‍的图像？

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