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课程: 代数2 > 单元 1

课程 7: 求出反函数

求出反函数

学习如何根据已知函数求解它的反函数公式。比如说，求解f(x) = 3x +2 的反函数。

反函数，一般是指相互“反转”的函数。例如，如果

f

需要从

a

到

b

，那么在反函数中, 便是从

b

到

a

。

或者换句话说，

f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a

。

在本文中，我们将学习如何基于原函数的公式找到反函数的公式。

在我们开始前...

在本课中，我们将学习找到

f (x) = 3 x + 2

的反函数。

在我们开始之前，请先想想怎么找到

f^{- 1} (8)

为了找到

f^{- 1} (8)

，我们需要找到

f

输出值

8

对应的输入值。这是因为如果

f^{- 1} (8) = x

，那么根据反函数的定义，

f (x) = 8

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ 8 & = 3 x + 2 & 设 f(x)=8 \\ 6 & = 3 x & 两边同时减2 \\ 2 & = x & 两边同时除以3 \end{aligned}

所以

f (2) = 8

，也就是说

f^{- 1} (8) = 2

请找到反函数

我们可以总结一下之前为任何

y

寻找

f^{- 1} (y)

的过程，

为了找到

f^{- 1} (y)

，我们可以找到与

y

的输出值对应的

f

的输入值。这是因为如果

f^{- 1} (y) = x

，那么根据定义，

f (x) = y

。

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & 设 f(x)=y \\ y - 2 & = 3 x & 两边同时减2 \\ \frac{y - 2}{3} & = x & 两边同时除以3 \end{aligned}

所以

f^{- 1} (y) = \frac{y - 2}{3}

既然变量的选择是随机的，那么我们可以写成

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

因为反函数将输入值和输出值进行了调换，另外一个找到

f^{- 1}

的方法就是先调换

x

和

y

，然后求解

y

来写反函数的式子。

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Replace f(x) with y \\ x & = 3 y + 2 & Switch x and y \\ x - 2 & = 3 y & Subtract 2 from both sides \\ \frac{x - 2}{3} & = y & Divide both sides by 3 \end{aligned}

所以

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

注意两种方法的相似之处。在每种情况下，我们是通过找出不被隔离的变量来求解方程的。主要区别在于变量被反转的过程。（第一种方法在最后执行此操作，而第二种方法最初执行此操作。）

检查你对内容的理解

1) 线性函数

请找出 $g (x) = 2 x - 5$ ‍ 的反函数.

g^{- 1} (x) =

2) 立方函数

请找出 $h (x) = x^{3} + 2$ ‍的反函数.

h^{- 1} (x) =

3) 立方根方程

请找出 $f (x) = 4 \cdot \sqrt[3]{x}$ ‍的反函数.

f^{- 1} (x) =

4) 有理函数

请找出 $g (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ‍ 的反函数.

g^{- 1} (x) =

当我们开始时，请先用

y

代替

g (x)

，然后解决

x

。

\begin{aligned} g (x) & = \frac{x - 3}{x - 2} \\ y & = \frac{x - 3}{x - 2} & Replace g(x) with y \\ y (x - 2) & = x - 3 & Multiply both sides by x-2 \\ y x - 2 y & = x - 3 & Distribute \\ y x - x & = 2 y - 3 & Group terms with x on one side \\ x (y - 1) & = 2 y - 3 & Factor out an x \\ x & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Divide both sides by y-1 \\ g^{- 1} (y) & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Replace x with g^{- 1} (y) \end{aligned}

既然变量的选择是随机的，我们现在可以把

y

转换至

x

，来以

x

写反函数。

$g^{- 1} (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ ‍

5) 挑战问题

匹配每一个函数以及它的反函数。

1

你不需要找到确切的逆函数就可以完成这个问题。只要想想哪些式子可以抵消这个方程，或者，用我们已上做过的来帮助你。

方程	逆类型
$f (x) = 3 x - 5$ ‍	线性
$g (x) = x^{3} - 7$ ‍	立方根
$h (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ ‍	有理数
$j (x) = \sqrt{x + 2}$ ‍	二次方

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