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主要内容

求出反函数

学习如何根据已知函数求解它的反函数公式。比如说,求解f(x) = 3x +2 的反函数。
反函数,一般是指相互“反转”的函数。 例如,如果 f 需要从 ab,那么在反函数中, 便是从 ba
或者换句话说,f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a
在本文中,我们将学习如何基于原函数的公式找到反函数的公式。

在我们开始前...

在本课中,我们将学习找到 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2 的反函数。
在我们开始之前,请先想想怎么找到 f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis
为了找到 f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, 我们需要找到 f 输出值 8 对应的输入值。这是因为如果 f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, x, 那么根据反函数的定义,f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8.
f(x)=3x+28=3x+2设 f(x)=86=3x两边同时减22=x两边同时除以3\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ 8 &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{设 f(x)=8}}} \\\\6&=3x &&\small{\gray{\text{两边同时减2}}}\\\\ 2&=x &&\small{\gray{\text{两边同时除以3}}} \end{aligned}
所以 f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 8, 也就是说 f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, 2

请找到反函数

我们可以总结一下之前为任何 y 寻找 f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis的过程,
为了找到 f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, 我们可以找到与y的输出值对应的 f 的输入值。 这是因为如果f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, x,那么根据定义,f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, y
f(x)=3x+2y=3x+2设 f(x)=yy2=3x两边同时减2y23=x两边同时除以3\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ y &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{设 f(x)=y}}} \\\\y-2&=3x &&\small{\gray{\text{两边同时减2}}}\\\\ \dfrac{y-2}{3}&=x &&\small{\gray{\text{两边同时除以3}}} \end{aligned}
所以 f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, y, minus, 2, divided by, 3, end fraction.
既然变量的选择是随机的,那么我们可以写成 f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 2, divided by, 3, end fraction.

检查你对内容的理解

1) 线性函数

请找出 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5 的反函数.
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

2) 立方函数

请找出 h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2的反函数.
h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

3) 立方根方程

请找出 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, dot, cube root of, x, end cube root的反函数.
f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

4) 有理函数

请找出 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction 的反函数.
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

5) 挑战问题

匹配每一个函数以及它的反函数。