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主要内容

求有理方程的反函数

ƒ 的反函数,是一个将函数值域中所有的输出映射到ƒ的定义域中所有输入的函数。我们可以通过求出以 𝘺 为变量的𝘹=ƒ(𝘺) 来得出 ƒ 的反函数。让我们来看看这一过程是如何完成的。

视频字幕

好,现在我们有 函数f(x)等于2x加5 除以4减3x 然后我们需要求得该函数 的反函数 暂停这个视频然后试着 在我们开始之前自己做这道题 好,现在我们一起来 先给你回忆一下一个函数 和其反函数是干什么的 假如这是一个函数的定义域 这是所有你可以往函数里输入 并且得到一个输出的所有x值的集合 假设你这里有一个x 它是定义域里的元素 然后将这个x 代入到函数里面 那函数会给我输出一个值 这个值在函数的值域里面,我们称其为f(x) 那一个反函数,走的就是反方向 假如你将f(x)这个值代入这个反函数 那么它会带我们回到x 这就是反函数的作用 那我们到底怎么求一个函数 的反函数呢,特别是当这个函数 是用这种有理数形式来表达的呢? 那我通常的思路是 假设y等于我们这个关于x的函数 或者说y是一个关于x的函数 就是y等于2x加5 除以4减3x 对于反函数关系来说 x和y就要对调一下 所以在我们的反函数里面就是 x等于2y减5 除以4减3y 然后要将这表达为 一个x的函数,表达为y是一个 关于x的反函数,我们需要求解y 所以这块就是一些代数运算 看看我们能不能解 我会做的第一件事是 将两边乘4减3y 这样之后,左边就是 x乘这些项 所以我们得到4x减3yx 然后这等于 右手边;因为我们这边 乘了分母,所以我们剩下的 就是分子 就是等于2y加5 这可能看着有点吓人 因为我们看见有几个x和y一起 记得我们要求解y 所以我们将所有包含y的项集中到一边 所有不包含y的项到另一边 我们先解决这个2y 实际上我可以从任意一边来 我们先处理这个2y 从两边减去2y 然后处理左手边的4x 所以从两边减去4x 现在我们剩下的是 左手边是 -5 —其实应该是这样 这边是-3yx减去2y 那你可能想问这个该去哪 等下我告诉你 等于 ——这两项抵消了 剩下的就是5减4x 再一次,我们想解y 所以我们在这边提取出一个y 然后我们就有 y乘-3x减2 等于5减4x 现在就到最后一步了 我们可以在等式两边除以 -3x减2 然后我们得到y等于 5减4x除以-3x减2 你也可以通过在分子 和分母分别乘-1 得到另一个形式 这不会改变它的值 那么你会得到 在分子是4x减5 然后在分母是3x加2 这就是答案了 f关于x的反函数 或者说等于这个y 等于这个