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代数2

课程: 代数2 > 单元 1

课程 2: 复合函数
数学
代数2
函数
复合函数
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复合函数

Google课堂
看一遍例题，讲解，以及练习题。学习如何算出复合函数的值。
我们可以将两个函数组合起来， 使其中一个函数的输出值成为另一个函数的输入值。复合函数就是这么规定的。让我们来看看这是什么！

复合函数的求值

例题

如果 f(x)=3x−1 并且 g(x)=x3+2，那么 f(g(3))的值是多少呢？

解法

一个计算 f(g(3))的方法就是从里向外求职。换言之，我们可以先求g(3)，然后将结果代入f求出我们的答案。
让我们来求g(3)。
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   代入 x=3.=29
因为 g(3)=29，所以 f(g(3))=f(29)。
现在我们来计算f(29)。
f(x)=3x−1f(29)=3(29)−1               代入 x=29.=86
所以， f(g(3))=f(29)=86。

计算复合函数

在上面的例子里，将3代入函数g中得到29，然后将29代入函数f中得到86。让我们找一找代入3就能直接得到86的函数。
为此，我们必须将两个函数 复合， 找到f(g(x))。

例题

f(g(x))是什么？
作为参考，请记住 f(x)=3x−1 并且 g(x)=x3+2。

解法

如果我们观察表达式f(g(x))，我们能发现g(x) 是方程 f的输入值。所以，让我们把方程f中所有的 x 都换成g(x)。
f(x)=3x−1f(g(x))=3(g(x))−1
因为g(x)=x3+2， 我们可以把 g(x)替换成 x3+2。
f(g(x))=3(g(x))−1=3(x3+2)−1=3x3+6−1=3x3+5
这个新的方程应当代入3直接得到 86。让我们对此进行一下验证。
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86
这真是极好的！

练一练!

问题 1

f(x)=3x−1
g(x)=x3+2
计算 g(f(1))。
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题 2

m(x)=3x−2
n(x)=x+4
计算 m(n(x))。

复合函数：正式的定义

在上面的例子中，我们探讨了什么是复合函数并对其进行求值。
一般来说，为了表示方程f与g复合我们可以写作 f∘g，读作先g后f的复合函数。此复合由以下规则定义：
(f∘g)(x)=f(g(x))
下图显示了(f∘g)(x) 与 f(g(x))之间的关系。
有了新的定义，我们再来看一个例子。

例题

g(x)=x+4
h(x)=x2−2x
求(h∘g)(x) 和 (h∘g)(−2)。

解法

我们可以这样求出 (h∘g)(x) ：
(h∘g)(x)=h(g(x))定义=(g(x))2−2(g(x))用 g(x) 代替方程 h 里的 x=(x+4)2−2(x+4)用 x+4 替换 g(x)=x2+8x+16−2x−8展开=x2+6x+8合并同类项
我们现在已经求出来h∘g了，所以我们直接把 x 替换成 −2就可以求出(h∘g)(−2)。
(h∘g)(x)=x2+6x+8(h∘g)(−2)=(−2)2+6(−2)+8=4−12+8=0
当然，我们也可以通过求h(g(−2))来求出(h∘g)(−2)。如下所示：
(h∘g)(−2)=h(g(−2))=h(2)         因为g(−2)=−2+4=2=0             因为h(2)=22−2(2)=0
下图显示了(h∘g)(−2)与h(g(−2))之间的关系。
我们可以看到方程g将−2转化成2，然后方程h将2转化成0，而方程h∘g把−2直接转化成0。

现在让我们来进行一些练习。

问题 3

f(x)=3x−5
g(x)=3−2x
求出(g∘f)(3).
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

在题目 4 和 5 中，让f(t)=t−2 并且 g(t)=t2+5。

问题 4

求出(g∘f)(3)。

问题 5

求出(f∘g)(t)。

挑战题

y=f(x) 和 y=g(x) 的网格图形如下所示。
以下哪个选项最接近(f∘g)(8)的值？
选出正确答案：

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