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主要内容

复合函数

看一遍例题,讲解,以及练习题。学习如何算出复合函数的值。
我们可以将两个函数组合起来, 使其中一个函数的输出值成为另一个函数的输入值。复合函数就是这么规定的。让我们来看看这是什么!

复合函数的求值

例题

如果 f(x)=3x1 并且 g(x)=x3+2,那么 f(g(3))的值是多少呢?

解法

一个计算 f(g(3))的方法就是从里向外求职。换言之,我们可以先求g(3),然后将结果代入f求出我们的答案。
让我们来求g(3)
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   代入 x=3.=29
因为 g(3)=29,所以 f(g(3))=f(29)
现在我们来计算f(29)
f(x)=3x1f(29)=3(29)1               代入 x=29.=86
所以, f(g(3))=f(29)=86

计算复合函数

在上面的例子里,将3代入函数g中得到29,然后将29代入函数f中得到86。让我们找一找代入3就能直接得到86的函数。
为此,我们必须将两个函数 复合, 找到f(g(x))

例题

f(g(x))是什么?
作为参考,请记住 f(x)=3x1 并且 g(x)=x3+2

解法

如果我们观察表达式f(g(x)),我们能发现g(x) 是方程 f的输入值。所以,让我们把方程f中所有的 x 都换成g(x)
f(x)=3x1f(g(x))=3(g(x))1
因为g(x)=x3+2, 我们可以把 g(x)替换成 x3+2
f(g(x))=3(g(x))1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5
这个新的方程应当代入3直接得到 86。让我们对此进行一下验证。
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86
这真是极好的!

练一练!

问题 1

f(x)=3x1
g(x)=x3+2
计算 g(f(1))
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题 2

m(x)=3x2
n(x)=x+4
计算 m(n(x))

复合函数:正式的定义

在上面的例子中,我们探讨了什么是复合函数并对其进行求值。
一般来说,为了表示方程fg复合我们可以写作 fg,读作先gf的复合函数。此复合由以下规则定义:
(fg)(x)=f(g(x))
下图显示了(fg)(x)f(g(x))之间的关系。
有了新的定义,我们再来看一个例子。

例题

g(x)=x+4
h(x)=x22x
(hg)(x)(hg)(2)

解法

我们可以这样求出 (hg)(x)
(hg)(x)=h(g(x))定义=(g(x))22(g(x))用 g(x) 代替方程 h 里的 x=(x+4)22(x+4)用 x+4 替换 g(x)=x2+8x+162x8展开=x2+6x+8合并同类项
我们现在已经求出来hg了,所以我们直接把 x 替换成 2就可以求出(hg)(2)
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6(2)+8=412+8=0
当然,我们也可以通过求h(g(2))来求出(hg)(2)。如下所示:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)         因为g(2)=2+4=2=0             因为h(2)=222(2)=0
下图显示了(hg)(2)h(g(2))之间的关系。
我们可以看到方程g2转化成2,然后方程h2转化成0,而方程hg2直接转化成0

现在让我们来进行一些练习。

问题 3

f(x)=3x5
g(x)=32x
求出(gf)(3).
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

在题目 4 和 5 中,让f(t)=t2 并且 g(t)=t2+5

问题 4

求出(gf)(3)

问题 5

求出(fg)(t)

挑战题

y=f(x)y=g(x) 的网格图形如下所示。
以下哪个选项最接近(fg)(8)的值?
选出正确答案:

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