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代数2

课程: 代数2 > 单元 1

课程 2: 复合函数
数学
代数2
函数
复合函数
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复合函数

Google课堂
看一遍例题，讲解，以及练习题。学习如何算出复合函数的值。
我们可以将两个函数组合起来， 使其中一个函数的输出值成为另一个函数的输入值。复合函数就是这么规定的。让我们来看看这是什么！

复合函数的求值

例题

如果 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 并且 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2，那么 f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis的值是多少呢？

解法

一个计算 f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis的方法就是从里向外求职。换言之，我们可以先求g, left parenthesis, 3, right parenthesis，然后将结果代入f求出我们的答案。
让我们来求g, left parenthesis, 3, right parenthesis。
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   代入 x=3.=29\begin{aligned}g(x)&=x^3+2\\\\ g(3)&=({3})^3 +2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{代入 }x={3.}}}\\\\ &={29}\end{aligned}
因为 g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 29，所以 f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis。
现在我们来计算f, left parenthesis, 29, right parenthesis。
f(x)=3x−1f(29)=3(29)−1               代入 x=29.=86\begin{aligned}f(x)&=3x-1\\\\ f( {{29}})&=3({29}) - 1~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{代入 }x= {29.}}}\\\\ &={86}\\\\ \end{aligned}
所以， f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis, equals, 86。

计算复合函数

在上面的例子里，将3代入函数g中得到29，然后将29代入函数f中得到86。让我们找一找代入3就能直接得到86的函数。
为此，我们必须将两个函数 复合， 找到f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis。

例题

f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis是什么？
作为参考，请记住 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 并且 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2。

解法

如果我们观察表达式f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis，我们能发现start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c 是方程 f的输入值。所以，让我们把方程f中所有的 start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 都换成start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c。
f(x)=3x−1f(g(x))=3(g(x))−1\begin{aligned}f(\blueE x)&=3\blueE x-1\\\\ f(\maroonD{g(x)}) &= 3(\maroonD{g(x)})-1 \\ \end{aligned}
因为g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2， 我们可以把 g, left parenthesis, x, right parenthesis替换成 x, cubed, plus, 2。
f(g(x))=3(g(x))−1=3(x3+2)−1=3x3+6−1=3x3+5\begin{aligned}{f(g(x))}&=3(g(x))-1 \\\\ &=3({x^3+2})-1 \\\\ &=3x^3+6-1\\\\ &=3x^3+5 \end{aligned}
这个新的方程应当代入3直接得到 86。让我们对此进行一下验证。
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86\begin{aligned} f( g(x))&= 3x^3+5\\ \\ f( g( 3))&= 3( 3)^3+5 \\\\ &= {86} \end{aligned}
这真是极好的！

练一练!

问题 1

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2
计算 g, left parenthesis, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis。
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题 2

m, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2
n, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
计算 m, left parenthesis, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis。

复合函数：正式的定义

在上面的例子中，我们探讨了什么是复合函数并对其进行求值。
一般来说，为了表示方程f与g复合我们可以写作 f, circle, g，读作先g后f的复合函数。此复合由以下规则定义：
left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
下图显示了left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis 与 f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis之间的关系。
有了新的定义，我们再来看一个例子。

例题

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x
求left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis 和 left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis。

解法

我们可以这样求出 left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis ：
(h∘g)(x)=h(g(x))定义=(g(x))2−2(g(x))用 g(x) 代替方程 h 里的 x=(x+4)2−2(x+4)用 x+4 替换 g(x)=x2+8x+16−2x−8展开=x2+6x+8合并同类项\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=h(g(x))&\small{\gray{\text{定义}}}\\\\ &=(g(x))^2-2(g(x))&\small{\gray{\text{用 } g(x) \text{ 代替方程 }h\text{ 里的 } x}}\\\\ &=({x+4})^2 -2({x+4})&\small{\gray{\text{用 } x+4 \text{ 替换 } g(x)}}\\\\ &=x^2+8x+16-2x-8&\small{\gray{\text{展开}}}\\\\ &=x^2+6x+8&\small{\gray{\text{合并同类项}}}\end{aligned}
我们现在已经求出来h, circle, g了，所以我们直接把 x 替换成 minus, 2就可以求出left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis。
(h∘g)(x)=x2+6x+8(h∘g)(−2)=(−2)2+6(−2)+8=4−12+8=0\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=x^2+6x+8\\\\ (h\circ g)(-2)&=(-2)^2+6(-2)+8\\\\ &=4-12+8\\\\ &=0\\\\ \end{aligned}
当然，我们也可以通过求h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis来求出left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis。如下所示：
(h∘g)(−2)=h(g(−2))=h(2)         因为g(−2)=−2+4=2=0             因为h(2)=22−2(2)=0\begin{aligned}(h\circ g)(-2)&=h(g(-2))\\\\ &=h(2)~~~~~~~~\small{\gray{\text{ 因为}g(-2)=-2+4=2}}\\\\ &=0~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{因为}h(2)=2^2-2(2)=0}}\\\\ \end{aligned}
下图显示了left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis与h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis之间的关系。
我们可以看到方程g将minus, 2转化成2，然后方程h将2转化成0，而方程h, circle, g把minus, 2直接转化成0。

现在让我们来进行一些练习。

问题 3

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 5
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, minus, 2, x
求出left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

在题目 4 和 5 中，让f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 2 并且 g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, squared, plus, 5。

问题 4

求出left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis。

问题 5

求出left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis。

挑战题

y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis 和 y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis 的网格图形如下所示。
以下哪个选项最接近left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, 8, right parenthesis的值？
选出正确答案：

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