主要内容
复合函数
看一遍例题,讲解,以及练习题。学习如何算出复合函数的值。
我们可以将两个函数组合起来, 使其中一个函数的输出值成为另一个函数的输入值。复合函数就是这么规定的。让我们来看看这是什么!
复合函数的求值
例题
如果 并且 ,那么 的值是多少呢?
解法
一个计算 的方法就是从里向外求职。换言之,我们可以先求 ,然后将结果代入 求出我们的答案。
让我们来求 。
因为 ,所以 。
现在我们来计算 。
所以, 。
计算复合函数
在上面的例子里,将 代入函数 中得到 ,然后将 代入函数 中得到 。让我们找一找代入 就能直接得到 的函数。
为此,我们必须将两个函数 复合, 找到 。
例题
作为参考,请记住
解法
如果我们观察表达式 ,我们能发现 是方程 的输入值。所以,让我们把方程 中所有的 都换成 。
因为 , 我们可以把 替换成 。
这个新的方程应当代入 直接得到 。让我们对此进行一下验证。
这真是极好的!
练一练!
问题 1
问题 2
复合函数:正式的定义
在上面的例子中,我们探讨了什么是复合函数并对其进行求值。
一般来说,为了表示方程 与 复合我们可以写作 ,读作先 后 的复合函数。此复合由以下规则定义:
下图显示了 与 之间的关系。
有了新的定义,我们再来看一个例子。
例题
求 和 。
解法
我们可以这样求出 :
我们现在已经求出来 了,所以我们直接把 替换成 就可以求出 。
当然,我们也可以通过求 来求出 。如下所示:
下图显示了 与 之间的关系。
我们可以看到方程 将 转化成 ,然后方程 将 转化成 ,而方程 把 直接转化成 。
现在让我们来进行一些练习。
问题 3
在题目 4 和 5 中,让 并且 。