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主要内容

复合函数的初步认识

通过一个关于农场的例题,我们会学习结合两个函数的原因。

小明是个农夫. 他每年都种玉米种子. 以下是玉米数量,C,单位为公斤(kg),关于a英亩土地的函数.
C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500
例如,如果小明种了两英亩土地,他预期会产出 C, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 7500, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1500, equals, 13, comma, 500 start text, k, g, end text 的玉米.
小明真正想知道的是卖掉这玉米他会赚多少钱. 因此, 他用这个函数来推测他从销售 c 公斤玉米中赚多少钱, M, 单位为美元.
M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, point, 9, c, minus, 50
所以如果小明可以生产 13, comma, 500, start text, space, k, g, end text 的玉米, 他可以预测他会赚M, left parenthesis, 13, comma, 500, right parenthesis, equals, 0, point, 9, left parenthesis, 13, comma, 500, right parenthesis, minus, 50, equals, dollar sign, 12, comma, 100.
请注意小明在用两个不同的函数从种了多少英亩的土地来预测收入. 第一个函数,C,是从土地面积预测玉米数量;而第二个函数,M,从玉米数量预测收入.
如果小明能写一个函数来直接从有多少英亩的土地来预测收入不是更好吗?

创建一个新的函数

我们是可以写出一个函数来从土地面积来预测收入的. 为了找到这个函数,让我们先想一想最基本的问题:小明如果种了a英亩的玉米,他预期会赚多少钱?
如果小明种了a英亩,那么他会预测收获C, left parenthesis, a, right parenthesis公斤的玉米。如果他收获了 C, left parenthesis, a, right parenthesis公斤的玉米,那他会预测赚M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis美元。
所以当我们转换a英亩的土地换成期待收入时,我们可以算出表达式M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.
但是我们该怎么做呢?请注意在表达式M, left parenthesis, start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis中,函数M的输入值是start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54. 所以为了找到这个表达式,我们可以用 start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54替代函数M中的start color #e07d10, c, end color #e07d10.
M(c)=0.9c50M(C(a))=0.9(C(a))50=0.9(7500a1500)50          因为 C(a)=7500a1500=6750a135050=6750a1400\begin{aligned} M(\goldD c)&=0.9\goldD c-50\\\\ M({\greenD{C(a)}})&=0.9(\greenD{C(a)})-50\\ \\ &= 0.9(\greenD{7500a-1500})-50~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{因为 }}}\small{\gray{C(a)=7500a-1500} }\\\\ &= 6750a-1350-50\\\\ &=6750a-1400 \end{aligned}
所以函数 M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400直接从土地面积转换为了期待收入. 让我们用这个新函数来预测如果小明种了2英亩地,他能赚多少钱.
M, left parenthesis, C, left parenthesis, 2, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1400, equals, dollar sign, 12, comma, 100
小明可以预测如果他种了两英亩地,他可以赚 dollar sign, 12, comma, 100,这和我们之前算得是一样的!

定义复合函数

我们刚刚发现了复合函数. 我们不用土地面积来预测收获的玉米数量,再从玉米数量预测收入,而是用一个可以直接从土地面积预测收入的函数.
我们通过将 C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis替换进函数M,或者通过找 M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis 来算出预测收入. 让我们叫这个新函数 M, circle, C,读作“M是由 C 组成的".
我们现在知道了 left parenthesis, M, circle, C, right parenthesis, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. 事实上,这就是复合函数的定义!

直观分辨出两种方法

这是一个帮助你理解的图.
CM两个函数,函数C—关于玉米数量的函数—从2英亩转换为了13500公斤. 然后,函数M—关于钱的函数—从13500公斤转换为了dollar sign12,100.
使用这个复合函数,我们可以看到函数M, circle, C直接把2英亩转换为了dollar sign12,100.
这两个方法是相同的!

现在让我们来练习一些例子.

问题 1

用例子里的函数,如果小明种了1.5英亩地,他会预测收入多少?
供参考:: C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500, M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, point, 9, c, minus, 50 ,且 M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
美元

问题 2

小蓝是一个种土豆的农夫. 函数 P, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 25, comma, 000, a, minus, 1000 能预测从a英亩的土地预测的收获土豆数量,P,单位为千克. 而函数 M, left parenthesis, p, right parenthesis, equals, 0, point, 2, p, minus, 200 能算出从卖p千克土豆而获得的收入, M,单位为美元.
如果小蓝卖了3英亩上种的土豆,他的预测收入是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题 3

如果小蓝种了a英亩的土地,下面的哪个表达式会预测小蓝的收入?
选出正确答案:
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