主要内容

复合函数的初步认识

通过一个关于农场的例题，我们会学习结合两个函数的原因。

小明是个农夫. 他每年都种玉米种子. 以下是玉米数量，

C

，单位为公斤（kg），关于

a

英亩土地的函数.

$C (a) = 7500 a - 1500$ ‍

例如，如果小明种了两英亩土地，他预期会产出

C (2) = 7500 (2) - 1500 = 13, 500

kg

的玉米.

小明真正想知道的是卖掉这玉米他会赚多少钱. 因此, 他用这个函数来推测他从销售

c

公斤玉米中赚多少钱,

M

, 单位为美元.

$M (c) = 0.9 c - 50$ ‍

所以如果小明可以生产

13,500 kg

的玉米, 他可以预测他会赚

M (13,500) = 0.9 (13,500) - 50 = $ 12,100

请注意小明在用两个不同的函数从种了多少英亩的土地来预测收入. 第一个函数，

C

，是从土地面积预测玉米数量；而第二个函数，

M

，从玉米数量预测收入.

如果小明能写一个函数来直接从有多少英亩的土地来预测收入不是更好吗？

创建一个新的函数

我们是可以写出一个函数来从土地面积来预测收入的. 为了找到这个函数，让我们先想一想最基本的问题：小明如果种了

a

英亩的玉米，他预期会赚多少钱？

如果小明种了

a

英亩，那么他会预测收获

C (a)

公斤的玉米。如果他收获了

C (a)

公斤的玉米，那他会预测赚

M (C (a))

美元。

所以当我们转换

a

英亩的土地换成期待收入时，我们可以算出表达式

M (C (a))

但是我们该怎么做呢？请注意在表达式

M (C (a))

中，函数

M

的输入值是

C (a)

. 所以为了找到这个表达式，我们可以用

C (a)

替代函数

M

中的

c

$\begin{aligned} M (c) & = 0.9 c - 50 \\ M (C (a)) & = 0.9 (C (a)) - 50 \\ = 0.9 (7500 a - 1500) - 50 因为 C (a) = 7500 a - 1500 \\ = 6750 a - 1350 - 50 \\ = 6750 a - 1400 \end{aligned}$ ‍

所以函数

M (C (a)) = 6750 a - 1400

直接从土地面积转换为了期待收入. 让我们用这个新函数来预测如果小明种了2英亩地，他能赚多少钱.

$M (C (2)) = 6750 (2) - 1400 = $ 12,100$ ‍

小明可以预测如果他种了两英亩地，他可以赚

$ 12,100

，这和我们之前算得是一样的！

定义复合函数

我们刚刚发现了复合函数. 我们不用土地面积来预测收获的玉米数量，再从玉米数量预测收入，而是用一个可以直接从土地面积预测收入的函数.

我们通过将

C (a))

替换进函数

M

，或者通过找

M (C (a))

来算出预测收入. 让我们叫这个新函数

M \circ C

，读作“

M

是由

C

组成的".

我们现在知道了

(M \circ C) (a) = M (C (a))

. 事实上，这就是复合函数的定义！

直观分辨出两种方法

这是一个帮助你理解的图.

用

C

和

M

两个函数，函数

C

—关于玉米数量的函数—从2英亩转换为了13500公斤. 然后，函数

M

—关于钱的函数—从13500公斤转换为了

$

12,100.

使用这个复合函数，我们可以看到函数

M \circ C

直接把2英亩转换为了

$

12,100.

这两个方法是相同的！

现在让我们来练习一些例子.

问题 1

用例子里的函数，如果小明种了1.5英亩地，他会预测收入多少？

供参考：: $C (a) = 7500 a - 1500$ ‍, $M (c) = 0.9 c - 50$ ‍ ，且 $M (C (a)) = 6750 a - 1400$ ‍

美元

因为我们刚建立了一个可以从土地面积转换到预测收入的复合函数，让我们用它来回答这个问题.

我们知道

M (C (a)) = 6750 a - 1400

. 我们可以把1.5替代

a

来预测小明的收入.

$\begin{aligned} M (C (a)) & = 6750 a - 1400 \\ M (C (1.5)) & = 6750 (1.5) - 1400 \\ = 8725 \end{aligned}$ ‍

小明的预测收入为

$

8725 ，前提是他买了1.5英亩上收获的玉米.

我们也可以用函数

C

把英亩转换为玉米数量，然后用函数

M

把玉米数量转换为收入. 但是，我们已经知道了复合函数，用它会更快速有效！

问题 2

小蓝是一个种土豆的农夫. 函数

P (a) = 25,000 a - 1000

能预测从

a

英亩的土地预测的收获土豆数量，

P

，单位为千克. 而函数

M (p) = 0.2 p - 200

能算出从卖

p

千克土豆而获得的收入,

M

，单位为美元.

如果小蓝卖了3英亩上种的土豆，他的预测收入是多少？

一个方法是把种了多少英亩代入到预测土豆的函数里，会得到收获土豆的数量. 然后，我们可以代入土豆数量到预测收入的函数里. 让我们来这样做.

首先，让我们找到

P (3)

$\begin{aligned} P (3) & = 25000 (3) - 1000 \\ = 74000 \end{aligned}$ ‍

现在让我们算出

M (74,000)

$\begin{aligned} M (74000) & = 0.2 (74000) - 200 \\ = 14600 \end{aligned}$ ‍

或者，我们可以找到复合函数，然后代入3到函数里. 步骤如下.

$\begin{aligned} M (P (a)) & = 0.2 (P (a)) - 200 \\ = 0.2 (25000 a - 1000) - 200 \\ = 5000 a - 200 - 200 \\ = 5000 a - 400 \\ M (P (3)) & = 5000 (3) - 400 \\ = 14600 \end{aligned}$ ‍

不管那种方法，我们可以发现如果小蓝卖掉3英亩上收获的土豆，小蓝的预测收入为

$

14,600.

问题 3

如果小蓝种了 $a$ ‍英亩的土地，下面的哪个表达式会预测小蓝的收入？

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