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主要内容

复合函数的初步认识

视频字幕

这里用三种方式定义了三个函数。 蓝色的是 f(x), 而这里表示了 t 值和 g(t) 值的对应。 这个表格就定义了函数 g(t)。 而这里,我们是从 x 对应到 h(x), 比如,当 x 等于 3,h(x) 等于 0。 当 x 等于 1,h(x) 等于 2。 我把这里标清楚, 1,2,3,这样标清楚。 在这个视频里,我要向你介绍复合函数的概念。 什么是复合函数? 意思是由一个函数和另一个函数复合成一个新的函数, 你也可以想象成嵌套。 这是什么意思呢? 我们先考虑一下如何计算 f, 里面不是 x,如何计算 f—— 我们先来个简单些的,热个身。 我们计算 f(g(2))。 如何考虑呢? 我建议你暂停视频,先自己想想。 刚开始肯定觉得挺吓人, 这种写法你还不熟悉, 但我们要记得什么是函数。 函数,就是从一个集合映射到另一个集合。 比如,当我们说 g(2), 意思是用数字 2,输入进函数 g, 然后得到一个输出,输出就是 g(2)。 然后我们再把这个输出 g(2), 把它输入进函数 f。 我们把它输入进函数 f, 然后我们得到的就是 f 里面是我们的输入,f(g(2))。 我们一步一步来。 g(2) 等于什么? 当 t 等于 2 时,g(2) 等于 -3。 然后我把 -3 输入进 f,会得到什么? 得到 -3 的平方减 1, 也就是 9 减 1,它就等于 8。 所以这里就等于 8。 f(g(2)) 就等于 8。 好,下一题, 完全是同样的逻辑, f(h(2)) 等于什么? 我还是鼓励你暂停视频,自己先考虑一下。 这次我们这样考虑, 这次不用上面这个流程了, 这里,x 是自变量, 不管输入的是啥,你都把它平方,再减 1。 而这里输入的是 h(2), 所以你要把这个输入值,也就是 h(2), 把输入值平方再减 1。 所以 f(h(2)) 等于 h(2) 的平方减 1。 那 h(2) 等于什么? 当 x 等于 2,h(2) 等于 1。 所以 h(2) 等于 1,由于它等于 1, 这里就化简成了 1 平方减 1, 也就是 1 减 1, 就等于 0。 用上面的流程也可以, 我们可以说,看,我们先要把 2 输入 h, 把 2 输入 h 得到的是 1, 因为 h(2) 就等于 1。 它就是 h(2),然后再把它输入 f, 也就是 f(1)。 f(1) 等于 1 的平方减 1,也就是 0。 所以这里是 f(h(2)), h(2) 输入进了 f, 输出就是 f,括号里面是输入,也就是 f(h(2))。 现在我们再进一步, 我们来复合 我们把这三个函数复合起来。 好,我们来——其实我在现编, 希望不会太离谱,g(f(2)), 我再看看,这样行吗? 这是 g(f(2)), 挑战一下,我们再加一层,h(g(f(2)))。 我们现在是三重复合函数, 有很多办法, 可以先计算 f(2), f(2) 就等于 2 的平方减 1。 也就等于 4 减 1,等于 3。 所以这里等于 3。 那么 g(3) 等于什么? g(3) 等于,当 t 等于 3,g(3) 等于 4。 所以 g(3),整个这部分,等于 4。 f(2) 等于 3,g(3) 等于 4, 那么 h(4) 等于什么? 我们回头看看原来这幅图。 当 x 等于 4,h(4) 等于 -1。 因此,h(g(f(2))) 就等于 -1。 希望对于如何计算复合函数, 你能有所收获。