反函数简介

反函数，最概括来讲，就是每个函数的”反向“函数。

比如，这里我们看到函数 $f$‍ 从$1$‍ 得到 $x$‍， 从$2$‍ 得到 $z$‍，从$3$‍ 得到 $y$‍。

$f$‍ 的反函数表示为 $f^{-1}$‍ （念成”$f$‍ 的反函数“），会反转 映射。 函数 $f^{-1}$‍ 从 $x$‍ 得到 $1$‍，从$y$‍ 得到 $3$‍， 且 从$z$‍ 得到 $2$‍。

通常，如果函数 $f$‍ 使 $a$‍ 得到$b$‍，那么反函数 $f^{-1}$‍ 就使 $b$‍ 得到 $a$‍。

据此，我们可以对反函数作正式的定义：

我们通过几个例子来进一步深入学习这个定义。

设函数 $h$‍ 如以上映射图所示。则 $h^{-1}(9)$‍ 等于多少？

我们得到了函数 $h$‍ 的信息，现在要回答函数 $h^{-1}$‍ 的问题。因为反函数是一一反转，我们也需要 反转 我们的思维。

明确来讲，要求 $h^{-1}(9)$‍，我们可以看哪个 $h$‍ 的值可以得到 $9$‍。因为如果 $h^{-1}(9)=x$‍，那么通过反转的定义，$h(x)=9$‍。

从映射图中，我们看到 $h(6)=9$‍，所以 $h^{-1}(9)=6$‍。

这是函数 $g$‍的图形。我们求 $g^{-1}(-7)$‍。

要求 $g^{-1}(-7)$‍，我们可以看$g$‍ 的哪个自变量对应因变量 $-7$‍。因为如果 $g^{-1}(-7)=x$‍，那么根据反函数的定义，$g(x)=-7$‍。

根据图形，我们看到 $g(-3)=-7$‍。

所以，$g^{-1}(-7)=-3$‍。

以上的例子向我们展示了函数与反函数之间的代数联系，但同时还有图形的联系！

通过图形和数据表格来认识函数 $f$‍。

我们可以反转函数 $f$‍ 的自变量和因变量，来求函数 $f^{-1}$‍ 的自变量和因变量。所以如果 $y=f(x)$‍ 的图形穿过$(a,b)$‍ ，那么 $y=f^{-1}(x)$‍ 的图形就会穿过 $(b,a)$‍。

这就让我们得到了 $f^{-1}$‍ 的图形和数值表格。

观察两个图形，我们可以发现 $y=f(x)$‍ 的图形和 $y=f^{-1}(x)$‍ 的图形沿 $y=x$‍ 线互为映射。

一般来讲都是这样；函数的图形及其反函数的图形会沿 $y=x$‍ 线互为映射。

似乎没道理有兴趣去研究反函数，然而事实上我们一直在使用它们！

等式 $C={\displaystyle \frac{5}{9}}(F-32)$‍ 可以用来将华氏度 $F$‍ 转换为摄氏度$C$‍。

但假设我们需要一个等式来作反向转换——将摄氏度转换为华氏度。这个可以用函数 $F={\displaystyle \frac{9}{5}}C+32$‍ 表示，或者可以使用反函数。

从更基本的层面讲，我们通过“孤立变量”来解许多数学上的等式。当我们孤立变量时，我们“还原”其周边相关的量。这样，我们就是在使用反函数的概念来求等式。