主要内容
代数2
单元 1：课程 6
反函数简介反函数简介
了解反函数是什么, 以及如何用表或图求反函数的值。
反函数，最概括来讲，就是每个函数的”反向“函数。
比如，这里我们看到函数 f 从1 得到 x， 从2 得到 z，从3 得到 y。
f 的反函数表示为 f, start superscript, minus, 1, end superscript （念成”f 的反函数“），会反转 映射。 函数 f, start superscript, minus, 1, end superscript 从 x 得到 1，从y 得到 3， 且 从z 得到 2。
定义反函数
通常，如果函数 f 使 a 得到b，那么反函数 f, start superscript, minus, 1, end superscript 就使 b 得到 a。
据此，我们可以对反函数作正式的定义：
f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a
我们通过几个例子来进一步深入学习这个定义。
例一：映射图
设函数 h 如以上映射图所示。则 h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis 等于多少？
解法
我们得到了函数 h 的信息，现在要回答函数 h, start superscript, minus, 1, end superscript 的问题。因为反函数是一一反转，我们也需要 反转 我们的思维。
明确来讲，要求 h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis，我们可以看哪个 h 的值可以得到 9。因为如果 h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x，那么通过反转的定义，h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9。
从映射图中，我们看到 h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9，所以 h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6。
看看你的知识掌握地如何
例二：图形
这是函数 g的图形。我们求 g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis。
解法
要求 g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis，我们可以看g 的哪个自变量对应因变量 minus, 7。因为如果 g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x，那么根据反函数的定义，g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7。
根据图形，我们看到 g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7。
所以，g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3。
看看你的知识掌握地如何
图形联系
以上的例子向我们展示了函数与反函数之间的代数联系，但同时还有图形的联系！
通过图形和数据表格来认识函数 f。
| space, space, space, x | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
|---|---|
| minus, 2 | start fraction, 1, divided by, 4, end fraction |
| minus, 1 | start fraction, 1, divided by, 2, end fraction |
| space, space, space, 0 | space, space, space, 1 |
| space, space, space, 1 | space, space, space, 2 |
| space, space, space, 2 | space, space, space, 4 |
我们可以反转函数 f 的自变量和因变量，来求函数 f, start superscript, minus, 1, end superscript 的自变量和因变量。所以如果 y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis 的图形穿过left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis ，那么 y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis 的图形就会穿过 left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis。
这就让我们得到了 f, start superscript, minus, 1, end superscript 的图形和数值表格。
| space, space, space, x | f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis |
|---|---|
| start fraction, 1, divided by, 4, end fraction | minus, 2 |
| start fraction, 1, divided by, 2, end fraction | minus, 1 |
| space, space, space, 1 | space, space, space, 0 |
| space, space, space, 2 | space, space, space, 1 |
| space, space, space, 4 | space, space, space, 2 |
观察两个图形，我们可以发现 y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis 的图形和 y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis 的图形沿 y, equals, x 线互为映射。
一般来讲都是这样；函数的图形及其反函数的图形会沿 y, equals, x 线互为映射。
检查你对内容的理解
为什么要学习反函数？
似乎没道理有兴趣去研究反函数，然而事实上我们一直在使用它们！
等式 C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis 可以用来将华氏度 F 转换为摄氏度C。
但假设我们需要一个等式来作反向转换——将摄氏度转换为华氏度。这个可以用函数 F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32 表示，或者可以使用反函数。
从更基本的层面讲，我们通过“孤立变量”来解许多数学上的等式。当我们孤立变量时，我们“还原”其周边相关的量。这样，我们就是在使用反函数的概念来求等式。