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主要内容

可逆函数简介

并非所有函数都有反函数。那些有反函数的被称为 "可逆",学习如何判断函数是否可逆。
反函数,通常情况下, 是相互“反转”的函数。例如,如果 a 通过函数 f 变成了 b,那么反函数 f, start superscript, minus, 1, end superscript 就能够将 b 变成 a

是否所有函数都有反函数?

有限函数 h 被定义成下表这样。
x1234
h, left parenthesis, x, right parenthesis2125
我们可以写出函数 h 的映射图。
现在我们来反转映射来得到反函数 h, start superscript, minus, 1, end superscript.
注意这里 h, start superscript, minus, 1, end superscript 的映射里 2 对应两个元素: 13。 这说明 h, start superscript, minus, 1, end superscript 不是 一个函数。
因为 h 的反转不是一个函数,我们称 h不可逆的
通常,一个函数只有当每一个变量对应一个元素才能够可逆 。 即每一个输出值都只对应一个输入值。只有这样,当映射时才能成为一个函数。
下图是可逆函数 g 的例子。注意其反转后其实也是一个函数。

检查你对内容的理解

1) f 是一个有限函数,定义如下表。
xminus, 2minus, 1space, space, space, 0space, space, space, 1space, space, space, 2
f, left parenthesis, x, right parenthesis21356
f 是可逆函数吗?
选出正确答案:

2) g 是一个有限函数,定义如下表。
x2581019
g, left parenthesis, x, right parenthesisminus, 2minus, 3minus, 216
g 是可逆函数吗?
选出正确答案:

挑战问题

3*) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared 是一个可逆函数吗?
选出正确答案:

可逆函数及其图像

思考一下函数 y, equals, x, squared的图像。
我们知道当一个函数的每一个输入值对应一个输出值时,这个函数是可逆的。换句话说, 每一个输出值对应唯一一个输入值。
但是 y, equals, x, squared的情况不一样。
用输出值 4举例。 注意通过画出 y, equals, 4的线,你可以看到有两个输入,2minus, 2,都与输出值4对应。
事实上,如果你将这条水平线上下滑动,你会看到大多数输出值对应两个输入值。 所以函数 y, equals, x, squared不可逆 函数。
相反,请想一下函数 y, equals, x, cubed
如果我们把这条水平线在图中上下滑动,其与函数图形的交点只有一个。
这表明每一个输出值都对应一个输入值。也就是说,每一个输入值都对应特定的饿一个输出值。函数 y, equals, x, cubed 是可逆的。
上面的解释提到我们称之为水平线测试的方法:通常,如果一个函数 f 通过了水平线测试法,这个函数就是可逆的。

检查你对内容的理解

4) g 是可逆的吗?
选出正确答案:

5) h 是可逆的吗?
选出正确答案:

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