可逆函数简介

反函数，通常情况下， 是相互“反转”的函数。例如，如果 $a$a 通过函数 $f$f 变成了 $b$b，那么反函数 $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript 就能够将 $b$b 变成 $a$a。

有限函数 $h$h 被定义成下表这样。

我们可以写出函数 $h$h 的映射图。

现在我们来反转映射来得到反函数 $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript.

注意这里 $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript 的映射里 $2$2 对应两个元素: $1$1 和 $3$3。 这说明 $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript 不是 一个函数。

因为 $h$h 的反转不是一个函数，我们称 $h$h 是 不可逆的。

通常，一个函数只有当每一个变量对应一个元素才能够可逆 。 即每一个输出值都只对应一个输入值。只有这样，当映射时才能成为一个函数。

下图是可逆函数 $g$g 的例子。注意其反转后其实也是一个函数。

思考一下函数 $y=x^2$y, equals, x, squared的图像。

我们知道当一个函数的每一个输入值对应一个输出值时，这个函数是可逆的。换句话说， 每一个输出值对应唯一一个输入值。

但是 $y=x^2$y, equals, x, squared的情况不一样。

用输出值 $4$4举例。 注意通过画出 $y=4$y, equals, 4的线，你可以看到有两个输入，$2$2 和 $-2$minus, 2，都与输出值$4$4对应。

事实上，如果你将这条水平线上下滑动，你会看到大多数输出值对应两个输入值。 所以函数 $y=x^2$y, equals, x, squared 是不可逆 函数。

相反，请想一下函数 $y=x^3$y, equals, x, cubed。

如果我们把这条水平线在图中上下滑动，其与函数图形的交点只有一个。

这表明每一个输出值都对应一个输入值。也就是说，每一个输入值都对应特定的饿一个输出值。函数 $y=x^3$y, equals, x, cubed 是可逆的。

上面的解释提到我们称之为水平线测试的方法：通常，如果一个函数 $f$f 通过了水平线测试法，这个函数就是可逆的。