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主要内容

通过复合函数验证反函数

了解如何通过函数复合来验证两个函数是否互逆。例如, f (x) = 5 x-7 和 g (x) = x/5 + 7 互为反函数吗?
本文涵盖了许多函数组合。如果你需要复习这一课题,我们建议你在阅读本文之前,点击这里
反函数,最概括来讲,就是“相反”的两个函数。比如,如果一个函数里,a 可以得出 b,那么它的反函数就是通过 b 得出 a
我们以函数 f 和函数 g 为例:f f(x)=x+13 以及g(x)=3x1
注意: f(5)=2g(2)=5
我们看到,当我们求f 之后再求 g,就得出了原来的自变量。表示成组合函数,就是 g(f(5))=5
但是两个函数要互为反函数,我们必须证明这适用于任何可能的自变量 ,无论代入 fg 的顺序如何。这就是反函数组合原则。

反函数组合原则

这是两个函数 fg 互为反函数的条件:
  • f(g(x))=x ,在定义域g区间内任何x 都成立
  • g(f(x))=x ,在定义域f区间内任何 x 都成立
这是因为如果 fg 互为反函数,将 fg 组合起来(两种方式均可)得出的函数,就会使每个自变量都得出该自变量本身。我们称此函数为”恒等函数“。

例1:函数 fg 互为反函数

我们使用发函数组合原则来验证上述函数 fg 确实互为反函数。
要记得, f(x)=x+13g(x)=3x1
我们求 f(g(x))g(f(x))
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))1=3(x+13)1=x+11=x
我们看到函数 fg 互为相反,因为f(g(x))=xg(f(x))=x

例2:函数 fg 不是互为反函数

如果f(g(x))g(f(x))不等于 x,那么 fg 不会是互为反函数。
我们试试 f(x)=5x7g(x)=x5+7
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))7=5(x5+7)7=x+357=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x75+7=x75+7=x+285
所以函数 fg 不是互为反函数,因为 f(g(x))xg(f(x))x
(这里要注意,看到 f(g(x))=x+28,我们可以得出结论,就是 fg 不是互为反函数。)

检查你对内容的理解

总的来讲,如果 fg 互为反函数,我们可以把它们组合起来。如果结果是 x,这两个函数就是互为反函数。否则则不是。

1) f(x)=2x+7h(x)=x72

f(h(x))h(f(x)) 表达成变量为 x的函数形式。
f(h(x))=
h(f(x))=
函数 fh 是否互为反函数?
选出正确答案:

2) f(x)=4x+10g(x)=14x10

用简单的方式表达 f(g(x))g(f(x)) ,以x为变量。
f(g(x))=
g(f(x))=
函数 fg 是否互为反函数?
选出正确答案:

3) f(x)=23x8h(x)=32(x+8)

f(h(x))h(f(x)) 表达成变量为 x的函数形式。
f(h(x))=
h(f(x))=
函数 fh 是否互为反函数?
选出正确答案:

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