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主要内容

不用帕斯卡三角形来扩展二项式。

视频字幕

在这个视频里我想分享 一个算是求二项式展开的 小技巧,特别是当 次幂特别大的时候。 但是在这个视频之后,我希望你 能想想这是如何与二项式定理 和杨辉三角联系起来的。 现在我给你展示这个技巧。 我要算x+y的七次方。 这会有8项。 我是怎么知道的呢? x+y的1次方有两项,这是一个二项式。 x+y的2次方有3项。 x+y的3次方有4项。 所以这会有8项。 让我给每一项都留一个位置。 这只是预留位置, 不是系数。 第一项,第二项,第三项,第四项, 第五项,第六项,第七项,第八项。 现在写出来实际的x和y。 第一项从x的7次方开始。 之后每一项x的 次幂都减一。 所以是x^6,x^5,x^4,x^3,x^2,x^1, 也就是x,然后这是 x的0次方,也就是1。 现在看看y。 这从y的0次方开始。 也就是1,所以不用写。 然后是y^1,y^2,y^3,y^4,y^5,y^6, 之后y^7,然后你可以验证一下 因为每一项的系数加起来都应该等于7 比如这里。 x的1次方乘y的6次方。 加起来是7。 现在我们来做有趣的部分, 也就是算这些系数。 方法就是,这里的每一项, 从这里开始,我们知道 这里这个系数是1。 我还是写下来吧。 之类的系数是1。 所以每一项,每一个系数, 我尽量用不同颜色来表示这样看得更清楚, 系数是前一项的次幂, 所以在这个情况下,前面一项的 次幂是7,前一项的次幂, 乘上前一项的系数,除以 它实际是第几项,除以这一项。 所以这是第一项,那现在 第二项的系数是7乘1除以1, 等于7。 那这个呢? 我们用完全相同的方法。 完全相同的过程。 等于x的次幂,我觉得 你应该会说是x的次幂。 x的次幂是6,也就是6,乘以 前一项的系数, 所以乘7,所以是前一项x的次幂 乘上它的系数,所以乘7。 前一项的x部分, 乘前一项的系数, 除以,可以说是, 前一项排位,所以除以2。 这等于多少? 等于3乘7, 等于21。 现在我们做这一项,同样的道理。 前一项,x次幂是多少? 是5。 乘上它的系数 所以乘21,然后除以 它是第几项,那是第3项。 所以就等于,我们来看一下, 5乘21除以3等于7, 也就是35,5乘7。 我们可以继续,或者是 看出来这里是对称的。 如果这是1,那最后一项也是1。 如果第二项是7,那么 倒数第二项也是7。 第三项是21,然后 倒数第三项也是21。 然后第四项是35, 倒数第四项也是35。 就是这样,我们求出了 x+y的7次方的展开式。 我觉得很不错。