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主要内容

二项式定理导论

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不用太长时间, 我们就可以发现,二项式定理,当幂越来越高时 过程会非常麻烦 但是我们一起做几个例题 来体验一下如何这个过程变得很麻烦 如果我们取二项式a加b 它是二项式因为这里有两项 我们取0次幂 任何一个非0的项,它的0次幂 都是等于1的 这个简单 现在我们来求a加b的1次方 就是a加b 然后是a加b的平方 现在如果你还没算过 二项式的幂 你可能会说, 是a平方加b平方 但是这个不正确 如果你这么做, 你要稍微拍一下 自己的手或者脑袋 a加上b的平方,不等于a平方加b平方 它是a加上b再乘以a加上b 如果你这么做,它会是 a乘以a,也就是a平方 加上a乘以b,也就是ab 加上b乘以a,也就是另外一个ab 加上b乘以b,也就是b平方 你这里有两个ab,所以它们可以加在一起 所以,它等于a平方,加上2ab,加上b平方 现在,这个很有趣了 a加上b的3次方等于多少? 我鼓励你暂停视频 试一下独立计算 好,我们知道a加上b的3次方 是a加上b的2次方,再乘以另外一个a加b 我们把这个乘以a加b 来计算它的值 我们算一下 看看 我们把它乘以a加b 我们这么来计算乘法 首先,把b和所有这些来相乘 我用绿色 b乘以b平方,是b的三次方 b乘以2ab得到2a,b的平方 2ab的平方 然后b乘以a平方,得到b,a的平方 或者a平方b a平方b 我已经把b乘以这里的所有项了 现在把a乘以这里的所有项 a乘以b平方是a,b的平方 ab的平方 a乘以2ab是2a平方b 2a平方b 然后a乘以a平方得到a的三次方 现在,当我们把所有这些加一起 我们得到 a的三次方,加上 我们看下,我们有1个a的平方b加上另外一个 加上2个a平方b 所以是3a平方b 加上3ab的平方 2ab平方加上另外一个ab的平方 得到3ab的平方 加上b的三次方 只是计算3次方, 已经让我们花了不少时间 你可以想象,像a加b的四次方 这种计算该会多耗时间 或者更高的幂数,会跟麻烦 如果你想计算a加b的10次方 或者20次方 说不定会花上一天时间 甚至更长时间 过程极其漫长 在这些情况下二项式定理就会很有用 二项式定理是什么? 二项式定理告诉我们 我们写下来 二项式定理 二项式定理 告诉我们,我们有一个二项式 我们比如说a加b好了 我把它用不同颜色 来表示 如果有二项式a加b a加b 我们把它升n次幂 我们把它升到n次幂 二项式定理告诉我们 它等于是 表达式一开始 会看上去有一些复杂 然后我们一起做一个习题练习一下 它等于是一个求和,k从0开始 k从0开始到n, 这个n和这个n是同样的数字 求和是 我不知道 这个颜色怎么描述 n中选k个 n中选择k的组合数 我们待会再来讲这个问题 它可以在排列组合问题中求得 n选择k的组合数乘以a的n减去k次方 n减去k,乘以 乘以 b的k次方 b的k次方 现在,这个表达式看上去有些繁复 我们复习一下 注意,n中选k的组合数意思是 如果我们说n中选k 我用同样颜色 n中选k, 从组合部分的知识 我们知道它等于n的阶乘 n的阶乘除以k的阶乘 除以k的阶乘,乘以n减去k的阶乘 n减去k的阶乘 所以,n减去k 减去k的阶乘 我们用这个颜色表示 n减去k的阶乘 我们试着来应用一下 我们把这个应用到 刚刚我们困扰的问题上 所以,a加上b的4次方 我们算一下 来试一下 好,a,我用不同颜色来处理 这样会更清楚一下 虽然切换颜色 有些麻烦 但是希望还是 值得这么做的啦 a加上b 求它的四次方 二项式定理告诉我们 它等于是 我用同样的符号 它等于,求和, k从0 k从0到4 4中选k的组合数 4中选k 4中选 我们把k用紫色 4中选k,然后a的4减去k次方 4减去k次方 乘以b的k次方 b的k次方 现在,它等于多少 好,我们算一下这个求和 它等于是 我们从k等于0开始 当k等于0,它等于是4中选0 4中选0 乘以a的4减去0次幂 就是4次幂 乘以b的0次幂 b的0次幂就是1 所以,如果想的话,我们这里写1, 或者,就这个样子就好 这个是当k等于0时得到的 然后,我们加上,k等于1 k等于1时,这个项是 系数是4中选1的组合数 它乘以a的4减去1次方 也就是3次方 我还用这个颜色 乘以b的k次方 现在k是1,b的1次方 然后,我们再加上 加上4中选2的组合数 4中选2的组合数乘以a的 现在k等于2, 4减去2得到2 a的平方 我想,这里出现了一个模式 a的4次方,a的3次方,a的平方 然后乘以b的k次方 k等于2,所以是b的平方 你再次看到一个模式 你可以说b的0次方,b的1次方,b的平方 然后我们只要再加两项就完成了 加上4中选3 4中选3的组合数,乘以,4减去3得到1 乘以a,或者,a的1次方, 然后b的3次方 乘以a的1次方b的3次方 然后还有一项 加上4中选 4中选4 k现在是4 它是我们的最后一项 我们得到k从0一直到4 4中选4, a的4减去4次方,就是1 a的0次方,就是1 然后剩下的是b的k次方 就是b的4次方 基本结束 我们展开它 我们要算一下4中选0的组合数 4中选1,4中选2,等等的这些组合数 我们算一下 我们把这个应用一下 4中选0的组合数 4中选0的组合数等于4的阶乘除以0的阶乘 乘以4减去0的阶乘 得到4的阶乘 0的阶乘,在本题中, 我们定义它为1 所以这个部分等于1 所以系数是1 我们看下 继续 4中选1的组合数,是4的阶乘除以1的阶乘 乘以4减去1的阶乘 4减去1的阶乘,就是3的阶乘 它等于多少? 1的阶乘是1 4的阶乘是4乘3乘3乘1 3的阶乘是3乘以2乘以1 我们写清楚点 4乘以3乘以2乘以1 除以3乘以2乘以1 剩下的是4 这个这里是4 然后我们要算4中选2的组合数 4中选2的组合数是4的阶乘除以2的阶乘 乘以4减去 这个是n减去k 4减去3除以2的阶乘 所以,它是多少? 我们往右边一些 它等于4乘以3乘以2乘以1 除以2的阶乘,也就是2 除以2乘以2 这个是2,这个是2 所以2乘以2等于是4 我们得到的是3乘以2乘以1 也就是6 等于是6 4中选3的组合数是多少? 我们在这里做 4中选3的组合数 4选3的组合数等于是 4的阶乘除以3的阶乘乘以4减去3的阶乘 也就是1的阶乘 我们已经算过了 它就是这里的这个 把1的阶乘换成3的阶乘 我们已经算出来它等于4 它等于4 4中选4的组合数? 它等于是 我们在这里做 4中选4的组合数等于4的阶乘除以4的阶乘 乘以0的阶乘 也就是这里这个 也就是1 我们做完了 我们可以算出 a加b的四次方 它是1a的4次方加上4a的三次方b的一次方 加上6a的平方b的平方,加上4ab的三次方 加上b的4次方 实际上,我们把它写下来 我们已经做了所有的步骤 它等于a的4次方 加上4 加上4a的三次方, a的三次方b,加上 加上6 加上6a平方b平方 a平方b平方 加上 再加上 加上4,我想你看到了模式出现了 加上4a乘以b的三次方 加上b的四次方 加上b的四次方 这里有一个有趣的模式 有一个对称性,你有系数 从1,到4,到6,它是中间这项 然后返回到4 返回到1 然后你看这个模式 你从4次方开始,到3次方 a平方, 然后你可以说这个是a的0次方 然后b从0开始 我们没有写出来,这里是1 然后b从1次方,到b平方,到3次方 到b的4次方 这个只是一个例子或者说应用 未来,我们会做更多例题 来学习二项式定理 以便理解它是如何运用的