扩展二项式

我们有3y的平方加6x的三次方， 然后整体进行五次方， 显然我们可以用二项式定理 或者杨辉三角来把它展开。 但我想把这道题当作一个练习， 我们只需要专心考虑计算其中一项 我会指定某一项的系数， 这一项是的系数是乘以x的六次方y的六次方。 所以展开的某一项 是x的六次方y的六次方，y的六次方 然后来求出这一项的系数， 我希望你能暂停 视频然后尝试独立解题。 好，我就当你已经做过了， 也许一开始你就觉得迷惑。 只是五次方而已， 怎么会出现x的六次方y的六次方项呢？ 但我们看最开始的二项式 的原始项。 好，有一个y的平方， 还有一个x的三次方， 那么对它们进行幂运算， 就能得到高于5的次数。 我们来考虑哪一项 是x的六次方y的六次方项时， 我们来看一下这里的规律， 先考虑展开式里面的各项次数， 先不考虑系数。 我们见过很多次了， 首先来看二项式中的第一项， 把前项写下来， 它的次数等于整个二项式的次数， 然后接下来每一项会 依次降低次数。 我就直接复制粘贴了。 它就等于，复制， 这是第一项，第二项， 我要确保这里留有足够的空间。 第二项，第三项，第四项，第四项， 第五项，第六项。 一共有六项， 永远比幂指数要多一项。 然后，在写指数之前， 我先把第二项也写上。 第二项项，我这样写， 第二项是6x的三次方， 让我来复制粘贴，哎呀。 让我来复制粘贴这个。 我们把这个放在这里。 放在这里。 然后放在这里。 然后这里。 然后超出屏幕了。 我写在这里吧。 到时候再看是不是需要写到这里吧。 然后我们来写次数。 这个次数，就等于 5次，4次，3次， 2次，1次，0次。 然后蓝色的表达式，也就是6x的三次方， 次数分别是0次，1次， 1次，2次，3次，4次， 然后这里是5次方。 然后，当然，它们每一项 前面都有系数。 它们每一项 前面都有系数。 这一项前面有系数， 这一项前面也有，这一项前面也有， 然后全部加起来。 但这里面哪一项 是我们关心的那一项呢？ 有 x六次方y六次方的项。 这里是x，如果y平方再4次方， 就是y的8次方，不是这个。 如果看这个， y平方再3次方， 这里就是y的六次方了， x三次方的平方，也是x的六次方。 我们想要解决的问题是 它的系数是多少， 这一项的系数，这前面的系数是什么？ 如果这些写出来的画 这就是展开之后的第三项。 第三项的系数是什么？ 现在我们要说清楚了，这个系数， 我们可以用二项式定理算出的这个系数， 并不是上面这个系数， 上面这个，题目真正要我们 求解的应该是 这个系数 和括号里面那些系数的乘积。 因为这里还有3次方和6平方。 所以要全部乘起来。 但我们首先要算的是这部分， 展开的这一项。 黄色这部分等于什么。 这里有好几种方法。 我们可以用杨辉三角形，或者用组合数。 如果要用组合数 这个系数，等于5取0的组合数， 这就是它的系数， 这里的系数，等于5取1的组合数。 我们见过很多次了。 实际上可以看做 从上面这个数中取 上面就是5， 是整个二项式的幂指数，从5中取多少呢？ 下面的数是 第二项的次数。 也就是5取1的组合数。 而这一项的系数，黄色部分。 就是5取2的组合数。 5 取2的组合数。 5 取2的组合数等于什么？ 它等于5的阶乘除以2的阶乘， 除以2的阶乘，乘以， 乘以5 - 2的阶乘。 我写在这里。 乘以5 - 2的阶乘。 这就等于。 我们看，5的阶乘就是5乘4乘3乘2， 也可以写上乘1，但并不改变它的值。 除以2的阶乘。 我还是写上吧 这样更明确一些，这里是乘以1。 2 的阶乘等于2乘以1， 然后这里，是3的阶乘， 乘以3乘2乘1。 我们看，这个3可以和这个3约掉， 这个2约掉这个2，1无所谓， 不改变它的值， 4除以2等于2。 这里就是2，所以我们剩下5乘以2，等于10。 那么就是这个系数。 等于10。 另一个方法是用杨辉三角形。 我们可以说这就是二项式本身， 然后这是它的二次幂， 系数就是1，2，1。 到三次幂时， 系数就是 1，3，3，1。 如果到了四次幂， 系数就变成 1，4，6，4，1。 然后五次幂， 也就是这道题要求的值，系数 就是 1，5，10，5，抱歉是 10，10，5，和1。 我们知道在展开式中， 这一项是第三项， 所以它的系数就是 1，2，3，第三个。 两种办法都得到10。 我们回过头来看原题。 它是多少？ 多少乘以x六次方y六次方？ 我们现在只需整理一下这一项， 它等于10乘3的三次方， 3的三次方，乘以y平方的三次方， 也就是y的平方再三次方，等于y六次方， y的六次方。 乘以6的平方， 乘以6的平方乘以x 的三次方也就是x的3乘以2次方， 也就是x的六次方，所以它等于。 它等于10乘以27乘以36再乘以36 然后，当然就是， x的六次方y的六次方。 实际上它就等于， 我看看，270乘以36， 让我们用计算器。 270，我其实可以用笔算但还是 省点时间吧， 乘以36是9720。 就是这个系数。 它等于9720乘以x六次方y六次方。 9720乘以x六次方y六次方，做完了。