帕斯卡三角形与二项式扩张

在上个视频中，我们应用二项式定理， 对 a 加 b 的 4 次幂进行展开。 展开很成功，虽然有点繁琐， 但练练有好处。 这个定理很有用，尤其是遇到更高的幂—— a 加 b 的 7 次幂，8 次幂之类的 但在这个视频中， 我要告诉你另外一个方法， 使用杨辉三角（帕斯卡三角） 如果时间充裕， 我们会一起思考这两个方法之间有什么关联 这次我们还是展开 a 加 b 的 4 次幂， 不用传统的二项式定理， 我们使用杨辉三角来进行二项式展开 老规矩，我先把要推导的式子写出来 我们要展开 a 加 b 的 4 次幂—— 我换个颜色——这是 4 次幂 接下来我要先把杨辉三角写出来 杨辉三角—— 最上面我先写个 1， 杨辉三角是以从最上面开始， 然后每一层分别计算，写出每个节点的数字 这是 1——这是个三角形， 从这里只有一条路走到这里， 也只有一条路走到这里 然后是第三层—— 我们看有多少条路到达这里—— 这是一条路，这是一条路， 有两条路到达这里。 然后一条路到这里，一条路到这里 只有一条路到这里，也只有一条路到这里。 但是要到这里，我可以这样走，也可以这样走。 然后我们把第四层也写出来——我看看，如果—— 只有一条路到这里， 但是有三条路到这里。 1 加 2，哪三条路呢？ 可以这样走，可以这样走， 也可以这样走。 同样的逻辑： 也有三条路到这个点。 然后，只有一条路到这个点。 我们再来第五层， 实际上我们就要用这一层， 因为要展开 4 次幂。 这是 0 次幂—— 二项式的 0 次幂， 1 次幂，2 次幂，3 次幂， 所以这是 4 次幂。 有多少条路到这里？ 沿着最左边一直走下来才能到这里， 所以只有一条路。 到这里有 4 条路，可以这样过来，可以这样过来， 可以这样过来，也可以这样过来。 到这里有六条路。 三条路到这里，三条路到这里。 所以有六条路到这里， 有时间你可以验证一下。 这有 3 加 1——4 条路。 然后，只有一条路到这里。 现在我要说，这就是系数， 0 次幂的系数——这就是 0 次幂的系数。 这是二项式 1 次幂展开的系数， 这是 2 次幂。 显然，二项式 1 次幂， a 和 b 的系数就是 1 和 1。 然后是平方，展开是 a 平方加 2ab 加 b 平方。 然后是 3 次幂，这就是展开的系数—— 3 次幂。 然后是 4 次幂，这就是系数。 我写下来。 那么我说，系数就是 1，4，6，4，1。 那 a 和 b 的次数是什么呢？ 先是 a，就是前项， a 的最高次方：a 的 4 次方。 然后下降， a 的 4 次方，3 次方， a 平方，a 的 1 次方， 然后我这么写， a 的 0 次方，当然就是 1。 然后是二项式中的后项， 它从最低次开始，0 次方， 然后是 b 的 1 次方，2 次方， b 的 3 次方， 然后 b 的 4 次方。 然后把这些项都加起来。 这样就完成了。 这样就把 a 加 b 的 4 次幂展开了。 跟我之前的式子一样。 上面的这一项，a 的 4 次方， 就是下面这一项。 a 的 4 次方，b 的 0 次方： 就是 a 的 4 次方。 上面这一项， 就等于下面这一项。 你可以看到，我们得到了一样的结果。 现在就会冒出来一个有趣的问题： 为什么杨辉三角能用在这里？ 我鼓励你暂停视频，自己先想想。 要了解为什么它能用， 我们先看看靠上的这几层。 我们来看 a 加 b 的 2 次幂， a 加 b 的 2 次幂。 它就等于，我们已经见过， 它就等于 a 加 b 乘以 a 加 b， 我写下来：a 加 b 乘以 a 加 b。 这里有个 a，还有个 a， 这里有个 b，还有个 b。 两个都是加号。 然后要把它乘开， 就等于 a 乘以 a，就是 a 平方。 这是唯一一条路，唯一的 a 平方项。 a 平方项只有一条路。 然后再加 a 乘以 b——加上 a 乘以 b。 然后再加上 b 乘以 a， 所以这也是 a 乘以 b。 再加 b 乘以 b，也就是 b 平方。 有趣的事情在这里， 有几条路可以到 a 平方项？ 只有一条路，只能是这个 a 乘以这个 a。 只有一条路到这里。 那么有几条路可以到 b 平方项？ 到 b 平方项有几条路？ 也是只有一条路， 就是 b 乘以 b。 只有一条路到这里。 但有多少条路能到 ab 项呢？ a 的 1 次方 b 的 1 次方。 有两条路，可以这个 a 乘以这个 b， 也可以这个 b 乘以这个 a， 所以有—— 有 2 条路到达 ab 项。 如果把这两项加起来， 就得到 a 平方加 2 倍 ab 加 b 平方。 注意，系数与这个完全一样： 1，2，1。 这也是 1，2，1。 这两个为什么一样？ 这里只有一条路到 a 平方项， 有两条路到 ab 项， 然后有一条路到 b 平方项。 如果是三次幂也同样， 只有一条路到达 a 立方项。 只能是把前项全乘起来。 也只有一条路到达 b 立方项。 但是有三条路到达 a 平方 b， 你可以自己乘一下，我们之前做过， 在前面我们乘过。 有三条路到达 a 平方 b 项。 我们在这里可以看到。 然后，有三条路能到 a b 平方项。 三条路到达 a b 平方项。 全加起来，就得到了 a 加 b 三次方的展开。 很有意思吧？