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主要内容

帕斯卡三角形与二项式扩张

视频字幕

在上个视频中,我们应用二项式定理, 对 a 加 b 的 4 次幂进行展开。 展开很成功,虽然有点繁琐, 但练练有好处。 这个定理很有用,尤其是遇到更高的幂—— a 加 b 的 7 次幂,8 次幂之类的 但在这个视频中, 我要告诉你另外一个方法, 使用杨辉三角(帕斯卡三角) 如果时间充裕, 我们会一起思考这两个方法之间有什么关联 这次我们还是展开 a 加 b 的 4 次幂, 不用传统的二项式定理, 我们使用杨辉三角来进行二项式展开 老规矩,我先把要推导的式子写出来 我们要展开 a 加 b 的 4 次幂—— 我换个颜色——这是 4 次幂 接下来我要先把杨辉三角写出来 杨辉三角—— 最上面我先写个 1, 杨辉三角是以从最上面开始, 然后每一层分别计算,写出每个节点的数字 这是 1——这是个三角形, 从这里只有一条路走到这里, 也只有一条路走到这里 然后是第三层—— 我们看有多少条路到达这里—— 这是一条路,这是一条路, 有两条路到达这里。 然后一条路到这里,一条路到这里 只有一条路到这里,也只有一条路到这里。 但是要到这里,我可以这样走,也可以这样走。 然后我们把第四层也写出来——我看看,如果—— 只有一条路到这里, 但是有三条路到这里。 1 加 2,哪三条路呢? 可以这样走,可以这样走, 也可以这样走。 同样的逻辑: 也有三条路到这个点。 然后,只有一条路到这个点。 我们再来第五层, 实际上我们就要用这一层, 因为要展开 4 次幂。 这是 0 次幂—— 二项式的 0 次幂, 1 次幂,2 次幂,3 次幂, 所以这是 4 次幂。 有多少条路到这里? 沿着最左边一直走下来才能到这里, 所以只有一条路。 到这里有 4 条路,可以这样过来,可以这样过来, 可以这样过来,也可以这样过来。 到这里有六条路。 三条路到这里,三条路到这里。 所以有六条路到这里, 有时间你可以验证一下。 这有 3 加 1——4 条路。 然后,只有一条路到这里。 现在我要说,这就是系数, 0 次幂的系数——这就是 0 次幂的系数。 这是二项式 1 次幂展开的系数, 这是 2 次幂。 显然,二项式 1 次幂, a 和 b 的系数就是 1 和 1。 然后是平方,展开是 a 平方加 2ab 加 b 平方。 然后是 3 次幂,这就是展开的系数—— 3 次幂。 然后是 4 次幂,这就是系数。 我写下来。 那么我说,系数就是 1,4,6,4,1。 那 a 和 b 的次数是什么呢? 先是 a,就是前项, a 的最高次方:a 的 4 次方。 然后下降, a 的 4 次方,3 次方, a 平方,a 的 1 次方, 然后我这么写, a 的 0 次方,当然就是 1。 然后是二项式中的后项, 它从最低次开始,0 次方, 然后是 b 的 1 次方,2 次方, b 的 3 次方, 然后 b 的 4 次方。 然后把这些项都加起来。 这样就完成了。 这样就把 a 加 b 的 4 次幂展开了。 跟我之前的式子一样。 上面的这一项,a 的 4 次方, 就是下面这一项。 a 的 4 次方,b 的 0 次方: 就是 a 的 4 次方。 上面这一项, 就等于下面这一项。 你可以看到,我们得到了一样的结果。 现在就会冒出来一个有趣的问题: 为什么杨辉三角能用在这里? 我鼓励你暂停视频,自己先想想。 要了解为什么它能用, 我们先看看靠上的这几层。 我们来看 a 加 b 的 2 次幂, a 加 b 的 2 次幂。 它就等于,我们已经见过, 它就等于 a 加 b 乘以 a 加 b, 我写下来:a 加 b 乘以 a 加 b。 这里有个 a,还有个 a, 这里有个 b,还有个 b。 两个都是加号。 然后要把它乘开, 就等于 a 乘以 a,就是 a 平方。 这是唯一一条路,唯一的 a 平方项。 a 平方项只有一条路。 然后再加 a 乘以 b——加上 a 乘以 b。 然后再加上 b 乘以 a, 所以这也是 a 乘以 b。 再加 b 乘以 b,也就是 b 平方。 有趣的事情在这里, 有几条路可以到 a 平方项? 只有一条路,只能是这个 a 乘以这个 a。 只有一条路到这里。 那么有几条路可以到 b 平方项? 到 b 平方项有几条路? 也是只有一条路, 就是 b 乘以 b。 只有一条路到这里。 但有多少条路能到 ab 项呢? a 的 1 次方 b 的 1 次方。 有两条路,可以这个 a 乘以这个 b, 也可以这个 b 乘以这个 a, 所以有—— 有 2 条路到达 ab 项。 如果把这两项加起来, 就得到 a 平方加 2 倍 ab 加 b 平方。 注意,系数与这个完全一样: 1,2,1。 这也是 1,2,1。 这两个为什么一样? 这里只有一条路到 a 平方项, 有两条路到 ab 项, 然后有一条路到 b 平方项。 如果是三次幂也同样, 只有一条路到达 a 立方项。 只能是把前项全乘起来。 也只有一条路到达 b 立方项。 但是有三条路到达 a 平方 b, 你可以自己乘一下,我们之前做过, 在前面我们乘过。 有三条路到达 a 平方 b 项。 我们在这里可以看到。 然后,有三条路能到 a b 平方项。 三条路到达 a b 平方项。 全加起来,就得到了 a 加 b 三次方的展开。 很有意思吧?