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主要内容

求多项式的零点

小撒查找 p (x) = (3x⁴-8 x³+ 15 x-40) (3 x-8)² 的所有零 (与根相同).

视频字幕

我这里有一个多项式p(x), p(x)等于一个四次项多项式 乘以(3x-8)^2, 所以这应该给你一些 就是9x^2 和一些其他的东西, 然后你再乘以这个。 这就会给你 一个六项式, 但是我们的目标是找到可以让 p(x)等于0的x值, 或者说这个多项式的根 或零点, 然后我们主要找的是实数零点, 也就是这个多项式的实数根, 就像往常一样你先自己尝试一下, 然后我们一起来解题。 好的,我们来搞定这道题。 所以我要使用的的方法是 我希望解p(x)等于0的这个式子, 然后解出来, 然后当我们说解它我实际上是在说 找出可以使这个多项式等于0的x值。 所以只需要让右侧 等于0然后解x, 然后我目前可以想到的最好的方法是 尽可能地将它因式分解, 然后如果我把它重新写的话 就等于几个部分相乘的表达式然后等于0, 好的几个部分相乘等于0, 你可以通过让其中任意一个部分等于0来让这个等式等于0, 让我们来这么做。 所以(3x-8)^2, 这个其实已经被很好地因式分解了, 让我们看看我们可否 把白色的部分因式分解, 然后我要使用的方法是 看看我们可不可以使用分组分解法。 所以让我们把这两项分组, 然后再把这两项分组, 分组分解法的核心思想就是 两次反向使用分配律。 所以从这两项, 我们可以因式分解出, 让我们看看我们可以因式分解成什么? 我可以分解出一个 让我看看, 我会因式分解出一个x^3。 所以我得到x^3乘以 3x-8, 有趣的是这里也有一个3x-8 现在这里的这两项, 我们可以因式分解出一个5, 所以这就等于加上5 乘以x, 哦抱歉,乘以3x. 3x-8,很有趣, 然后当然了我们这里有括号, 然后我们有(3x-8)^2. 这个3x-8出现了很多次, 所以当然这个就会等于0, 所以们会让它们等于0, 然后现在我可以把3x-8因式分解出来, 我可以把3x-8因式分解出来, 然后就等于 3x-8乘以 x^3, x^3+5。 再一次我只分解出了3x-8 加5,括号, 然后乘以(3x-8)^2 就等于0, 就都等于0. 现在如果我现在做的看起来非常邪门, 你只要明白我有两项 它们都乘以(3x-8)。 然后我把它因式分解了出来, 我把(3x-8)因式分解了出来。 我使用了反向的乘法分配律, 所以我可以把它因式分解, 然后你左边剩下的 你只需要看你剩下的这里是x^3 这里是+5。 现在3x-8乘以(x^3+5) 再乘以(3x-8)^2。 好的我们可以改写成 (3x-8)^3 乘以(x^3+5) 所以让我写下来。 所以就可以写成 (3x-8)^3乘以(x^3+5), 这就是这个乘上这个 然后乘以 乘以,让我用个好点儿的颜色, 乘以(x^3+5) 等于0, 就等于0, 然后现在为了让它等于0, 那么就是这个或者这个 等于0就行, 或者是这个等于0. 所以让我们思考一下 (3x-8)^3等于0. 我可以把它写成 (3x-8)^3=0 或者x^3+5=0 为了(3x-8)^3=0能够成立 这就意味着(3x-8)^3 要等于0 或者3x=8, 两侧同时除以3, x=8/3. 所以这是让这个多项式等于0的一种方式, x=8/3. 实际上这里就会等于0, 0乘任何东西都是0. 所以这是这个多项式的一个零点, 然后我们看, x^3, 我们可以说, 如果我们在两侧同时减去5, 那么我们就会得到x^3等于 -5, 然后如果我们在两侧同取1/3次方 我们可以说x就等于三次根号下-5. 你可能会说, “稍等,我们可以取-5的根号么?” 然后我会说:“当然可以!” -1的三次根号是-1. -8的三次根号是-2. 事实上所有实数都可以取三次根号。 只不过这里会是负数。 我们不会得到复数, 然后这些, 就是这个多项式的两个零点。 有一个会是负数。 负一点几, 我们其实可以把它算出来, 具体地算出来。 我们算一下, 我们算一下, 5的 括号1/3次方 就等于, 所以这是5的1/3次方, 所以-5的1、3次方 就大概等于-1.7. 所以这就大约等于-1.7. 所以我们有两个实数根, 这个多项式有两个实数根, 或者说两个零点, 然后这意味着这个函数 会与x轴有两个交点。 简单一点儿地说, 这两个x值就是坐标轴上 函数与x轴交点的坐标。