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主要内容

多项式的图像

分析多项式来勾勒其图像。

学习这节课之前你应该熟悉些什么

函数f末端走势是该函数在x轴"远端"处图像表现的描述。在代数中,末端走势由以下两个问题决定:
  • x, right arrow, plus, infinity,f, left parenthesis, x, right parenthesis趋近于?
  • x, right arrow, minus, infinity,f, left parenthesis, x, right parenthesis趋近于?
如果你没有学过这个知识点,我们建议你看一下这篇文章多项式的末端走势.
函数f的零点与它的图像在x轴的交点相对应。如果f的零点是奇数次幂, 它的图像会在那个x穿过x轴。 如果函数f有一个偶数次幂的零点, 那么它的图像在那一点与x相切
如果你没有学过这个知识点,我们建议你看一下这篇文章多项式的零点

本课内容

这节课, 我们需要用到以上知识点来分析和绘制多项式的图像. 然后我们要用多项式的图像来找出多项式的正与负区间.

分析多项式函数

我们接下来要分析多项式函数 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared的几个特性.

求出y轴交点

为了求图像fy-轴交点, 我们可以求f, left parenthesis, 0, right parenthesis
f(x)=(3x2)(x+2)2f(0)=(3(0)2)(0+2)2f(0)=(2)(4)f(0)=8\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}
图像y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesisy-截距是left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis

求出x-轴交点

想求x-交点, 我们可以解等式f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
f(x)=(3x2)(x+2)20=(3x2)(x+2)2\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}
3x2=0orx+2=0零的乘法特性x=23orx=2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{or}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{零的乘法特性}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{or}\qquad x&=-2\end{aligned}
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis图像的x-交点是left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis 以及 left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis
start fraction, 2, divided by, 3, end fraction的零是1次, minus, 2的零是2次. 这意味着图像在left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis处与x轴相交, 在 left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesisx轴相切.

求末端走势

要找到函数的末端走势, 我们可以分析函数标准形式的首项。
让我们用标准形式写出等式。
f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(3x2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x2x28x8f(x)=3x3+10x2+4x8\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}
多项式的首项是start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10,因此函数f的末端走势和3, x, cubed一样。
由于它的次幂是奇数, 首项的系数是正数, 末端走势如下: 当 x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity 以及当 x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity

绘制图像

我们可以使用上面的结论来绘制 y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis的草图.
让我们从末端走势开始:
  • x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
  • x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
这意味着, 在 "末端" , 图形将看起来像y, equals, x, cubed的图.
现在我们可以增加我们所知道的x-交点:
  • 图像在left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis点与x轴接触, 因为minus, 2处的零点是偶数次幂。
  • 图像在left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis点穿过x-轴, 因为start fraction, 2, divided by, 3, end fraction处的零点是奇数次幂。
最后, 我们画出y轴交点left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis, 在它们的间隙中填充一条平滑连续的曲线并完成这一步.
虽然我们不知道转折点的确切位置, 但我们仍然对函数图的整体形状有一个很好的了解!

正与负区间

现在, 我们有了 f的草图, 所以很容易确定 f 的正数以及负数区间.
x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fractionf是正数 , 当 x, is less than, minus, 2 或者 minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fractionf是负数.

请检查你是否理解

1) 现在你自己试画出g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis的草图。
a) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesisy轴交点是什么?
left parenthesis, 0,
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
right parenthesis

b) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis的图像的末端走势是什么?
选出正确答案:

c) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis图像的x-轴交点是什么?
选出正确答案:

d) 以下哪个图像可能是 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis的图像?
选出正确答案:

2) 以下图像哪个是 y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared的图像
选出正确答案:

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