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主要内容
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视频字幕

你们或许已经听说过 偶数和奇数的概念, 今天在这个视频中,我们要学习偶函数和奇函数。 一会儿你们将会看到 这两者之间有些相似和联系, 也有许多不同之处。 首先我们来看偶函数是什么。 研究偶函数的一个方法就是 如果你把函数曲线绕 y 轴旋转, 函数曲线看起来完全一样。 我们来看一个偶函数的经典举例。 我们把这个函数图像画在这里, 这是一个典型的抛物线。 函数的顶点 在 y 轴上。 这是一个偶函数。 这个曲线就是 x 的函数等于x的平方的图像。 请注意,如果你把这个曲线绕 y 轴旋转, 你会得到完全相同的曲线图像。 现在,我们可以 从数学的角度来讨论, 我们引入映射的概念, 如果一个函数 等于它相对 y 轴的映射, 那么,x 的函数等于负x 的函数。 因为,如果你用负 x 代替 x 就是使函数曲线绕 y 轴旋转。 现在我们来看,什么是奇函数。 奇函数,就是当你 绕 y 轴旋转,再绕 x 轴旋转,能得到相同的函数图像。 让我来画一个经典的奇函数例子 这个经典的例子就是 x 的函数等于 x 的3次方。 它的图像是这样的。 注意,如果你先绕 y 轴旋转, 你就得到这样的图像, 我们用虚线表示 如果只是绕 y 轴旋转, 它是这样的。 然后,如果你再相对绕 x 轴旋转, 好,你就得到了和原来完全相同的函数曲线。 那么,现在我们怎样写出它的数学表达呢? 看,我们的函数等于 不仅绕 y 轴旋转, 这就是负 x 的函数, 而且绕 x 轴旋转, 这就是函数的负值。 这是两次翻旋转的结果。 有些同学会注意到一个模式, 或者几乎可以看到一个模式, 它与我们在前面学习数学的过程中, 偶数和奇数的概念相关, 我刚才给你们讲了一个偶函数, 它的指数是偶数。 刚才讲到的奇函数, 它的指数是奇数。 现在,我鼓励大家尝试更多更多的多项式 和指数函数, 我们可以看到, 如果仅仅是 x 的函数等于 x 的 n 次方, 当 n 是偶数时,它就是偶函数, 当 n 是奇数时,它就是奇函数。 这就是它们之间的关系。 现在,有些同学会想到, 等一下,看来有好多函数 既不是偶函数,又不是奇函数。 实事正是如此。 举一个例子,如果函数是 x 的平方加 2, 图形画在这里,它仍然是一个偶函数。 因为你旋转它 你可以看到它对 y 轴对称。 你可以得到它原来的图像。 但是如果函数是 x - 2 的平方, 它的图像是这样的, x-2, 就要向右移动 2, 图像看起来是这样的。 它就不再是偶函数了。 因为,如果你让它绕 y 轴旋转, 你不能得到相同的函数图像。 这不是单纯的指数函数。 函数表达式的结构影响很大。 如果函数很简单,就像 x 的 n 次方, 那么函数的奇偶性 取决于 n 的奇偶性。 和上面例子类似,如果我们移动这个 x 的函数, 如果我们把它向上平移, 它就不再是,看,如果这是 , x 的3次方加3, 它就不再是奇函数了。 因为,我们旋转一次,你得到这条曲线, 但是,如果你再旋转一次,你就得到这条曲线。 你得到这条曲线 你没有得到原来的函数。 现在,我们考虑一个有趣的问题, 是不是可以想象会有一个函数,既是偶函数又是奇函数呢? 所以,我建议你们暂停视频播放, 自己努力思考一下。 是不是有一个函数,f(x) 等于 f(-x), 而且,f(x) 也等于 -f(-x) 呢? 好的,我给你们一些线索, 或者说,我给你们答案。 如果 f(x) 只是等于常数 0, 注意,它只是一条水平线, 就像这样,y 等于0. 如果你把它绕 y 轴旋转, 你得到它原来的曲线, 然后,你把它绕 x 旋转, 你仍然可以得到原来的曲线。 这个函数既是偶函数,又是奇函数。 这是一个非常有趣的例子。