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这一节讲偶函数和奇函数 偶函数写在左边这里 之后再讲奇函数 有时间的话 我还要讲既非偶又非奇的函数 在正式定义偶函数之前 我想先展示下图像 这是最容易的辨识方法 而且这能有助于理解偶函数的定义 而且这能有助于理解偶函数的定义 先画坐标轴 x轴 然后是y轴 或者说y=f(x)轴 下面画f(x)的图像 f(x)=x2 或者说y=x2 第一象限内是这样 第二象限则是这样 我要画得更对称一些 很好 f(x)=x2是偶函数 其特点在于 关于y轴对称 函数右侧的图像 沿y轴翻转 得到左侧图像 这就是偶函数 偶函数还有一个有趣性质 任意取一个正的x值 假设取x=2 求f(2) 结果是4 对于这个函数f(x)=x2 f(2)是4 2的平方是4 再看对面的-2 -2处的函数值f(-2)也等于4 -2处的函数值f(-2)也等于4 看明白了没有 将函数沿y轴翻转 情况肯定是这样 任何正数的函数值 同它相反数的函数值相同 这就引出了正式定义 函数为偶函数 当且仅当… 偶函数别和偶数搞混了 这是完全不同的概念 至少在我看来 两者没有显然联系 至少在我看来 两者没有显然联系 f为偶函数 当且仅当 f(x)=f(-x) 一开始我没直接讲这个定义是因为 一开始我没直接讲这个定义是因为 定义很难直接看明白 其实f(x)=f(-x)说的就是这种对称 比如f(2)=4 这是一个例子 f(2)=f(-2) 对于f(x)=x2 两者都是4 所以 定义说的也就是 函数左侧和右侧关于y轴对称 函数左侧和右侧关于y轴对称 为了便于理解 我再画一些偶函数 我要画一些古怪的东西 好让大家能够从图像上判断 假设这样的函数 然后跳到这里 这样 左侧是一样的 两侧对称 跳跃 然后像这样 两侧图像互为镜像 这是个偶函数 右侧图像沿y轴翻转正好和左侧图像重合 右侧图像沿y轴翻转正好和左侧图像重合 右侧图像沿y轴翻转正好和左侧图像重合 这个也能成立 随便取个值 假设这个是3 假设f(3)=5 显然f(-3)也等于5 这符合偶函数的定义 我再画一个吧 加深认识 坐标轴保持绿色 像这样 画一个三角函数吧 像这样 两个方向一样 这个也是偶函数 这些都是偶函数 也许你会好奇 奇函数是什么 我画一个奇函数吧 还是先画坐标轴 画一个奇函数 我要画的 可以说是最著名的奇函数 y=x2也许是偶函数中最著名的 而奇函数是f(x)… 当然 其它一些奇函数也不见得没它有名 f(x)=x3 图像大概是这样的 不了解的同学可以自己描点试试 大概是这样 奇函数 从图像上 可以这样看 重申一下 纵轴是y轴 横轴是x轴 这一部分都在y轴右侧 将它沿着y轴翻转 图像是这样 如果左侧是这样 那就是偶函数了 显然并非如此 奇函数除了沿y轴翻转一次以外 还要沿x轴翻转一次 或者说 沿y轴翻转 然后前面加个负号 还可以先沿x轴翻转 然后沿y轴翻转 需要两次翻转 取这一部分 沿x轴翻转 显然得到图像的这部分 也可以用特定的点来看 我这是在 暗示奇函数正式的定义 试一个点 还是2吧 x=2 f(2)=8 那-2呢 f(-2)=(-2)3=-8 f(-2)=-8 这种情况可以一般化 f(2)只是该方程的一个特例 f(2)等于的 不是f(-2) 8不等于-8 8等于-8的相反数 也就是+8 所以f(2)=-f(-2) 讲清楚点 f(2)=23=8 而f(-2)=(-2)2=-8 负的-8 负负得正 正确 这个可以一般化 得到奇函数定义 函数为奇函数 当且仅当 在f(x)的定义域上 f(x)=-f(-x) 或者也可以这样写 即两侧同时乘以-1 -f(x)=f(-x) 有时还会反过来写 f(-x)=-f(x) 只是交换了两边 再画一些奇函数图像吧 画得不好 重新来 我随便画个古怪的函数 也许右侧像这样 偶函数这边会是这样 但这里要奇函数 所以还要翻转一次 所以 函数的剩余部分是这样 非虚线部分 就是一个奇函数 看看定义 在右边任意选x=a 函数值f(a) 会在这里 而相反数-a处 f(-a)在这里 f(-a)同f(a)到x轴的距离相等 f(-a)同f(a)到x轴的距离相等 画得有点不好 大概在这里吧 这就是f(-a) 同f(a)到原点的距离相等 只是多个负号 画得不大好 我再画一个奇函数 大家应该懂了吧 画一个简单的 免得你们认为奇函数都很古怪 最简单的奇函数是y=x y=x是这样的 y=x 穿过原点 右侧这部分沿y轴翻转 然后沿x轴翻转 与这部分重合 所以它也是奇函数 再画几个非奇非偶的函数 它们有时会被误认为是奇函数或偶函数 比如这样一个抛物线 它不关于y轴对称 不要以为对称的就一定是偶函数 这个抛物线不沿y轴对称 没有f(x)等于f(-x) 这既不是奇函数 也不是偶函数 类似的 还有平移后的三次函数 比如像这样 f(x)=x3+1 大概是这样 别以为这是奇函数 平移后 就不是奇函数了 图像上就能看出 这是f(x)=x3+1 如果将函数右侧 翻转到左侧 得到这样的图像 然后再翻转下来 得到这样的图像 所以这不是奇函数 图像左侧不是右侧翻转两次的结果 图像左侧不是右侧翻转两次的结果 这个才是 本字幕由网易公开课提供,更多课程请到http//open.163.com 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open oCourse字幕组翻译:只做公开课的字幕组 http://ocourse.org