主要内容
多项式的末端走向
了解多项式的末端走向是什么，以及如何从多项式的方程中找到它。
在本节课, 你将会学习多项式的 "末端走势" 是什么并学习如何在函数图像中或多项式方程中分析它.
什么是 "末端走势"?
函数 f 的 末端走势 描述了该函数图像在 x-轴的 "末端" 的趋势。
换句话说, 函数的末端走势描述的是当我们看向 x-轴的 右 端 (当 x 趋近 plus, infinity) 和 x-轴 左 端 (当 x 趋近 minus, infinity)的图像的趋势。
例如, 让我们看看多项式函数 f 的图像 . 请注意当你向 x-轴的右方移动时, 函数 f 的图像向上走. 这表明, 当 x 变得越来越大时, f, left parenthesis, x, right parenthesis 也会变得越来越大.
在数学上, 我们写作: 当 x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. (表示, "当 x 趋近正无穷, f, left parenthesis, x, right parenthesis 趋近正无穷.")
在图像的另一端, 当我们沿着 x-轴向左移动 (想象 x 趋近 minus, infinity), 函数 f 的图像向下走. 这表明当 x 的负值变得越来越大, f, left parenthesis, x, right parenthesis 的负值也变得越来越大.
在数学上, 我们写作: 当 x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity. (表示, "当 x 趋近负无穷, f, left parenthesis, x, right parenthesis 趋近负无穷.")
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代数方法确定末端走势
我们同样可以从一个多项式函数的方程来确定它的末端走势。 这通常对尝试画出函数图像时有帮助, 因为知道了极端情况会帮助我们看出图像
的 "末端"趋势。
根据一个多项式 f 的方程确定其末端走势, 我们可以思考当 x 为一个大的正值和一个大的负值时函数的值。
特别是, 当我们回答以下两个问题:
- 当 x, right arrow, plus, infinity,f, left parenthesis, x, right parenthesis趋近于?
- 当 x, right arrow, minus, infinity,f, left parenthesis, x, right parenthesis趋近于?
研究: 单项式的极端情况
单项式函数是多项式函数形式 y, equals, a, x, start superscript, n, end superscript中 , 当 a 是一个实数并且 n 是一个非负整数的形式.
让我们用代数的方法考察一些单项式的末端走势并看看我们是否可以得到一些结论.
2) 看看单项式 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
3) 看看单项式 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared.
4) 看看单项式 h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed.
5) 看看单项式 j, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, cubed.
总结这些研究
注意 单项式的次幂 left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis 和首项系数 left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, right parenthesis 如何影响末端走势。
当 n 为偶数, 函数在两 "端" 的趋向是相同的. 首项系数的正负号决定了它们都趋向 plus, infinity 或都趋向 minus, infinity.
当 n 为奇数, 函数在两 "端" 的趋向是相反的. 首项系数的正负号决定了哪一端是 plus, infinity 和哪一端是 minus, infinity.
这些总结在下面的图表中.
| start color #11accd, n, end color #11accd 为偶数并且 start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd 为偶数并且 start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| 当 x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, 当 x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | 当 x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, 当 x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
| start color #11accd, n, end color #11accd为奇数并且 start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd 为奇数并且 start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| 当 x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, 当 x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | 当 x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, 当 x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
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多项式的末端走势
现在我们知道了如何求出单项式的末端走势。但是如果是多项式而不是单项式呢? 像 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x 的函数怎么办呢?
通常, 多项式函数的末端走势与它的首项的一样, 或者与它最大指数项的末端走势一样。
所以 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x 的末端走势，与单项式 minus, 3, x, squared 的末端走势一样。
由于 start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end superscript 的次幂是偶数 left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis 并且首项系数是 left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, g 的末端走势是: 当 x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, 当 x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
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为什么首项决定了末端走势?
这是因为相比较 x 的值, 首项对于函数值有最大的影响 .
当 x 为大的正值时，让我们通过分析函数 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x 来做更进一步的探索 .
当 x 趋近于 plus, infinity, 我们知道 minus, 3, x, squared 趋近于 minus, infinity 同时 7, x 趋近于 plus, infinity.
可是他们总和的末端走势又会是怎样呢? 让我们代入一些 x 的值来看看.
| x | minus, 3, x, squared | 7, x | minus, 3, x, squared, plus, 7, x |
|---|---|---|---|
| 1 | minus, 3 | 7 | 4 |
| 10 | minus, 300 | 70 | minus, 230 |
| 100 | minus, 30, comma, 000 | 700 | minus, 29, comma, 300 |
| 1000 | start color #ca337c, minus, 3, comma, 000, comma, 000, end color #ca337c | 7000 | start color #ca337c, minus, 2, comma, 993, comma, 000, end color #ca337c |
注意随着 x 变大, 多项式表现的会像 minus, 3, x, squared 一样 .
但是假设 x 项分量更重一点. 如果是 999, x 而不是 7, x 会发生什么呢?
| x | minus, 3, x, squared | 999, x | minus, 3, x, squared, plus, 999, x |
|---|---|---|---|
| 10 | minus, 300 | 9, comma, 990 | 9, comma, 690 |
| 100 | minus, 30, comma, 000 | 99, comma, 900 | 69, comma, 900 |
| 1000 | minus, 3, comma, 000, comma, 000 | 999, comma, 000 | minus, 2, comma, 001, comma, 000 |
| 10, comma, 000 | start color #ca337c, minus, 300, comma, 000, comma, 000, end color #ca337c | 9, comma, 990, comma, 000 | start color #ca337c, minus, 290, comma, 010, comma, 000, end color #ca337c |
再一次, 我们看到当 x 为大的值时, 多项式表现的会像 minus, 3, x, squared 一样. 尽管我们需要一个更大的 x 值来看它的趋势, 但情况仍然相同.
事实上, 无论 x 的系数是什么, 当 x 为足够大的值时, minus, 3, x, squared 会最终起主导作用!