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主要内容
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视频字幕

在这个视频中, 我们来讨论一下 多项式函数的末端趋势。 也就是一个多项式函数 趋向正无穷或负无穷时 函数值的走向。 比如,我们很熟悉的 二次多项式函数 y 等于 ax 平方加 bx 加 c。 我们知道如果 a 大于 0, 函数是一条开口向上的抛物线。 应该长这个样子, 这就是这个等式, 或者说这个函数的图像。 而如果 a 小于 0, 抛物线就开口向下。 三次多项式我们接触较少, 但我们也遇到过。 所以如果是三次多项式函数, y 等于 ax 的三次方 加 bx 平方加 cx 加 d, 如果 a 大于 0—— 我不喜欢这个棕色。 如果 a 大于 0, 当 x 趋近于负无穷时, 整个函数的值也趋近于负无穷。 x 增大时,函数值也在增大。 然后,在这个过程中, 函数值怪怪的转折了两下, 但是当 x 越来越趋近于正无穷时, 函数值也越来越趋近于正无穷。 这就是 a 大于 0 时, 函数图像的大致样子。 那么如果 a 小于 0 呢? 就像这里一样, 只需要上下翻转即可。 如果 a 小于 0, 只需要上下翻转, 当 x 趋近于负无穷, 这里会乘以一个负值的 a, 也就变成一个大正数。 所以看上去应该是这样。 然后是这样的走势, 在中间又扭了两下, 但是到后来,就是它的末端趋势 还是在下降, 趋势还是下降的。 我们现在说的是末端趋势, 说的是这个函数, 这个多项式函数在 x 越来越大趋近正无穷时, 或者越来越小趋近负无穷时, 函数值是什么样的。 也许函数在中段 会拐来拐去很奇怪, 但我们只需要考虑 x 取极端值的情况。 很显然,二次多项式函数的中段 并没有拐来拐去,很平滑。 但是三次多项式函数不同, 在中段时我们看到 函数走势奇怪,扭了两下。 但三次多项式函数的末端趋势是: 如果 a 大于 0—— 函数值从无穷小开始, 然后随着 x 变成正数, 函数值会一路增长到无穷大。 如果 a 小于 0,就反过来。 而多项式函数只有这两种类型。 任何次数的多项式函数, 都会归结到这两种类型。 现在我们看一下四次多项式函数。 y 等于 ax 的四次方加 bx 的三次方 加 cx 平方加 dx 再加—— 我不想写 e, 因为 e 在数学里有另外的意义。 那么再加——字母不够用了! 再加 f,这不是那个函数 f, 这只是一个常数 f。 我们来看看它是什么样子。 我们来看看它的末端趋势, 我们可以把它和二次多项式函数 看作同一类。 那么它的末端趋势, 就算 x 取很远的负值, x 的四次方仍然是正的, 如果 a 大于 0, 当 x 趋于负无穷时, 函数值将趋于正无穷, 和二次函数情况一样。 而趋于正无穷也是同样。 x 的四次方是正的, 乘以 a 仍然是正的。 因此它的末端趋势非常像 二次多项式函数的末端趋势。 而在中段,它可能—— 也会扭出几个诡异转弯, 在中段,它有可能是这个样子。 但我们只关心它的末端趋势。 我觉得,也可以把 我用虚线圈出来的中段部分 称作“非末端”趋势, 中段趋势。 显然它的中段与二次函数不同, 但是末端的趋势是相同的。 原因就是,一个数的平方, 或者四次方, 或者任何偶数次方—— 如果这个数趋于正无穷, 只要 a 是正的, 整个值也会趋于正无穷, 而这个数趋于负无穷, 整个值还是趋于正无穷。 一个负数的四次方, 或者二次方,结果是正数。 同样,如果 a 小于 0, 它的末端趋势应该 和上面这种情况很像。 对于最高次是偶数的多项式 ——这是 a 小于 0 的情况, 它的末端趋势—— 当 x 趋于负无穷, 这部分就是一个 非常非常大的正数, 然后再乘以一个负数, 函数值就会趋近于负无穷, 所以是这个趋势。 同样,当 x 趋于正无穷, 结果是一样的。 因为都是一个大正数 乘以一个负的 a, 当然,在中段 应该是这样扭动的样子, 但是它的末端趋势, 你看,跟二次多项式函数 是一样的。 所以如果你把这里忽略掉, 末端趋势是一样的。 五次函数也是同样的道理, 它与三次函数是一个类型。 这里有个统一的思路, 就是我们只需要考察 x 趋近于 正无穷或者负无穷时, 函数值的变化趋势。 要考察是否偶数次方, 如果是的话, 不管是负数还是正数, 结果都会是正数, 而这时就会取决于系数 a 了。 若是奇数次方呢? 也有统一的思路, 我们拿五次方函数作为例子。 现在我有函数 y 等于 ax 的五次方加 bx 的四次方 然后继续—— 我不需要具体写出来。 如果 a 大于 0, 那么就会是这样, 它的末端趋势与 三次多项式函数在 a 大于 0 的情况是一样的。 在这一端是这样, 然后,在中段疯狂扭动, 我想画得准确些, 1,2,3——在中段疯狂扭动了好几下。 而当 x 越来越大时, 它的趋势与 x 三次方 在 a 大于 0 的情况一样。 所以,a 大于 0 时, 末端趋势与上面一样, 而 a 小于 0 时, 末端趋势也一样。 是这个样子。 a 为负时,这一端是正的, 因为这部分趋近负无穷, 但是又乘了一个负值的 a, 负负得正。 而 x 趋近正无穷时, 它反而为负, 这同样是因为 a 这一项为负。 而中段的走势, 不在本视频讨论的范围 ——幸好如此。 所以这一大堆东西—— 我们考虑的是末端趋势, 如果是一个偶数次的多项式函数, 它的末端趋势与二次函数 是一样的。 如果你忽略中段, 只看 x 在负向和正向很远端的情况 那就跟二次多项式函数是一样的。 而如果是奇数次方, 它的末端趋势 跟三次函数是一样的。 在中段也许会扭很多次, 但只要给定了 a,根据 a 的正负, 末端趋势就会是这样, 或者是这样。