求解二次方程：复根

题目要求我们求2x平方加5等于6x 所以这里我们有一个一元二次方程 但我们先将其写成我们所熟悉的标准形式 将它写成标准形式 当然，标准形式指的是ax平方 加bx加c等于0的形式 我们只需将6x从 右边移除就可以 这样右边就是0了 我们在等式的两边 减去6x 然后我们的左手边就是 2x平方减6x加5等于…… 右边这两个消除掉了 所以剩下的就是0 然后这有很多办法来解 我们可以因式分解 假如我想因式分解的话 我会在两边除以2 假如我在两边除以2，在x平方和 x这两项我有整数系数 但是常数项会是5/2 所以这不是那种容易因式分解的情况 我们可以用配方法 或者用公式法 其实也就是用配方法得到的公式 那这个情况下我们用公式法吧 根据一元二次方程公式 假如我有这样的标准形式 那它的解是负b 加或者减——这样我们有两个解 加或者减根号b平方 减4ac除以2a 我们来套用这个公式 负b……这个是b 所以负b是负负6 也就是正6 加或者减根号b平方 负6平方是36，减去4乘a，a是2…… 乘2乘c，c是5 乘5 全部除以2乘a，a是2 所以2乘2等于4 所以这等于6加或者减 根号36……让我算一下 36减4乘2乘5 这边等于40 所以是36减40 然后你可能想知道 现在会发生什么 全部除以4 或者说这等于6加或者减 根号负4 36减40等于负4，除以4 然后你可能想说，Sal，等一下 如果我求负4的平方根的话 我会得到一个虚数 你没说错 这个一元二次方程的两个解 会是复数 因为在我们计算这个的时候 我们会得到一个虚数 所以在加减之后，我们会得到 两个复数 那继续这样做 根号负4 这个等于2i 我们知道这等于2i 或者说你可以这么想 根号负4等于 根号负1乘根号4 这两个相等 我甚至还可以再加一步 这等于根号下 负1乘4，也就等于根号 负1乘根号4 负1的算术平方根是i 然后乘4的算术平方根，2 所以这是2i，或者说i乘2 那这个等于2i 所以我们等于x等于6加或者减2i除以4 假如我们要化简的话 我们可以在分子和分母同时除以2 这就等于3加或者减 i除以2 或者你可以写成两个复数 你可以写成3加i除以2，或者说3/2加1/2i 这是取这里是加号的情况 或者这个可以是3/2减1/2i 这边和这两个是相等的 这是两个解 现在我想做的是验证一下这是正确的 验证这两个根 所以这个我可以写成3加i除以2 这是相等的 我刚刚只是在 两边同时除以了2 或者说是将1/2提取出来 哪种方法都行 然后这边这个是3减i除以2 或者直接从这一步过来 这是2分之3加或者减i 所以是2分之3加i 或者2分之3减i 这个，这个以及这个 都是这两个解的 相等的表达方式 我们来看看这是不是解 所以我先来试试这个 会看着没那么好看，因为 我们要所有这些的平方 但我们来看看我们能否这么做 所以我们想做的是 2乘这些东西的平方 所以2乘2分之3加i的平方加5 然后我们要验证这个等于 6乘以这个量，也就是 6乘2分之3加i 那3加i的平方是多少？ 所以这个是2乘……我先求这个平方 3加i，这等于3的平方，也就是9 加2乘3和i的乘积 3乘i等于3i，再乘2等于6i 所以是加6i 假如你觉得这个不好理解 我建议你直接通过 乘法分配律来计算 然后你会得到中间这一项 你会得到两个3i 然后加起来是6i 再加上i的平方，i的平方是负1 减1 全部除以4，加上5，等于…… 假如你在分子和分母同时除以2 这里是3，然后这里是1 3分配到3加i等于9加3i 然后我们可以将这边的化简一下 来节约点空间 9减1等于8 所以这里可以替换成8加6i 我们可以将分子和分母同时 除以2 所以分子会是4加3i，我们除以2 分母就变成了2 这个2和这里的2会消掉 所以左手边剩下的是4加3i加5 然后这个需要等于9加3i 等式两边已经有3i了 然后还有个4加5，等于9 所以3加i肯定是一个解 现在我们来试试3减i 再回到原式子 2x平方加5等于6x 让我写在这里 把原式写在这里 我们有2x平方加5等于6x 现在我们要试着验证这个是解 所以2乘2分之3减i 的平方加5需要等于6乘这些东西 6乘2分之3减i 这还会比较难看 但是只要我们认真做每一步 我们就能得到正确的结果 3减i的平方 3减i乘3减i 你可以多练习一下求二项式 或者在这里是复数 的平方 等于9，也就是3的平方，然后3乘负i 是负3i 然后有两个 所以负6i 负i的平方是负1 这等于负1乘负1乘i乘i 答案是负1 负i的平方也等于负1 负i是负1的另一个平方根 但不是算术平方根 但是是负1的其中一个平方根 现在我们有正1 ……不好意思，是负1 因为这是负i平方等于负1 然后全部这些除以4 2的平方是4 乘这里的2，加5，要等于…… 在我直接展开之前 我们可以在分子和分母同时除以2 6除以2等于3 2除以2等于1 3乘3等于9 3乘负i等于负3i 假如我们再化简一下的话，9减1 等于……这里我用蓝色 9减1等于8 我们得到8减6i 然后假如我们用8减6i和4都 除以2的话，在分子我们得到4减3i 然后在分母我们得到2 我们在分子和分母同时除以了2 外面还有一个2 分母也是2 这两个就消除了 所以这个表达式 就化简成了4减3i 然后我们还有加5等于9减3i 在左边我们有一个负3i 右边有一个负3i 我们有4加5 计算一下 左手边是9减3i 跟右边的复数完全一样 也是9减3i 所以这也验证成功 它也是一个解 我们验证了我们的二次方程的 两个复数解