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主要内容

代数2

Course: 代数2 > 单位 4

课程 15: 多项式函数的对称
数学
代数2
多项式
多项式函数的对称
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多项式的对称

Google课堂
学习如何判断一个多项式是偶数、奇数还是两者都不是。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

一个函数的图像如果与y轴对称, 那么这个函数是偶函数.
从代数上讲, 如果对任意x来说 f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, 那么f是偶函数.
函数是 奇函数 如果其图形与原点对称。
从代数上讲, 如果对任意x来说 f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, 那么f是奇函数.
如果这是新的知识点, 我们建议你看看 函数对称性导论.

本课内容

您将学习如何根据多项式的方程确定多项式是偶函数、奇函数还是两者都不是。

调查研究: 单项式的对称性

单项式 是只有一项的多项式. 单项式的形式是f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript , 其中a是实数, n是大于或者等于0的整数.
在这项调查里, 我们将分析几个单项式的对称性, 并试着总结出单项式奇偶性的规律.
通常, 为了研究函数f是奇函数, 偶函数或者都不是, 我们要分析f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis:
  • 如果 f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis 与 f, left parenthesis, x, right parenthesis相同, 那么 f 是偶函数.
  • 如果 f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis 与 f, left parenthesis, x, right parenthesis相反, 那么 f 是奇函数.
  • 否则, 它既不是奇函数也不是偶函数.
第一个例子里, 让我们看看 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, cubed的奇偶性.
f(−x)=4(−x)3=4(−x3)(−x)3=−x3=−4x3简化=−f(x)因为 f(x)=4x3\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=4(\blueD{-x})^3\\ \\ &=4(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=-4x^3&&\small{\gray{\text{简化}}}\\ \\ &=-f(x)&&\small{\gray{\text{因为 $f(x)=4x^3$}}}\\ \end{aligned}
f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, 所以函数 f 是奇函数.
现在尝试一些你自己的例子, 看看你是否能找到一个模式。
1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared 是奇函数, 偶函数, 还是都不是?
选出正确答案：

2)h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, 5, end superscript 是奇函数, 偶函数, 或者都不是?
选出正确答案：

总结这些研究

通过观察以上题目, 我们发现当f时一个偶数次幂单项式时, f就是 偶函数. 同样地, 我们发现当f时一个奇数次幂单项式时, f就是 奇函数.
偶函数奇函数
示例 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscripth, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, end superscript
通常f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #aa87ff, n, end color #aa87ff, end superscript 当 n 是start color #aa87ff, start text, 偶, 数, end text, end color #aa87fff, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #1fab54, n, end color #1fab54, end superscript 当 n 是 start color #1fab54, start text, 奇, 数, end text, end color #1fab54
这是因为当n时偶数时, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, x, start superscript, n, end superscript. 当n时奇数时, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, minus, x, start superscript, n, end superscript.
这也很可能是奇函数和偶函数一开始这么命名的原因!

调查研究: 多项式的对称性

这次调查研究中, 我们会研究具有一个以上项的多项式的对称性.

例 1: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

要确定f的奇偶性, 我们看看 f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
f(−x)=2(−x)4−3(−x)2−5=2(x4)−3(x2)−5(−x)n=xn 当 n 是偶数=2x4−3x2−5简化=f(x)因为 f(x)=2x4−3x2−5\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-3(\blueD{-x})^2-5\\ \\ &=2(x^4)-3(x^2)-5&&\small{\gray{(-x)^n=x^n\text{ 当 $n$ 是偶数}}}\\ \\ &=2x^4-3x^2-5&&\small{\gray{\text{简化}}}\\\\ &=f(x)&&\small{\gray{\text{因为 } f(x)=2x^4-3x^2-5}} \end{aligned}
由于 f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, 函数 f 是一个偶函数.
请注意, f 的所有项都是偶数次幂。

例2: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

再次, 我们首先看 g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
g(−x)=5(−x)7−3(−x)3+(−x)=5(−x7)−3(−x3)+(−x)(−x)n=−xn 当 n 时奇数=−5x7+3x3−x简化\begin{aligned}g(\blueD{-x})&=5(\blueD{-x})^7-3(\blueD{-x})^3+(\blueD{-x})\\ \\ &=5(-x^7)-3(-x^3)+(-x)&&\small{\gray{(-x)^n=-x^n\text{ 当 $n$ 时奇数}}}\\ \\ &=-5x^7+3x^3-x&&\small{\gray{\text{简化}}}\\ \end{aligned}
此时, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis 的任何一项都与g, left parenthesis, x, right parenthesis相反. 换言之, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, 因此 g是奇函数.
请注意, g 的所有项都是奇数次幂。

例 3: h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

让我们看看h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
h(−x)=2(−x)4−7(−x)3=2(x4)−7(−x3)(−x)4=x4 并且 (−x)3=−x3=2x4+7x3简化\begin{aligned}h(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-7(\blueD{-x})^3\\ \\ &=2(x^4)-7(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^4=x^4\text{ 并且 } (-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=2x^4+7x^3&&\small{\gray{\text{简化}}}\\\\ \end{aligned}
2, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 7, x, cubed与 h, left parenthesis, x, right parenthesis 不同, 且与 h, left parenthesis, x, right parenthesis不相反.
从数学的角度, h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, h, left parenthesis, x, right parenthesis 且 h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, minus, h, left parenthesis, x, right parenthesis, 所以h既不是奇函数也不是偶函数.
请注意, h有一个偶数次幂项和一个奇数次幂项。

总结这些研究

总体来说, 通过研究多项式的每一项, 我们可以确定它的奇偶性.
empty space规律示例多项式
偶函数如果多项式每一项都是偶数次幂, 它就是偶函数.f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5
奇函数如果多项式每一项都是奇数次幂, 它就是奇数函数.g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x
都不是如果多项式同时有奇数和偶数次幂项, 那么该多项式不是奇函数也不是偶函数 .h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

看看你的知识掌握地如何

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 5 是奇函数, 偶函数, 还是都不是?
选出正确答案：

4) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 6, x, cubed, plus, x, squared 时奇函数, 偶函数, 或者都不是?
选出正确答案：

5) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 10, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x 是奇函数, 偶函数, 或者都不是?
选出正确答案：

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