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主要内容

多项式的对称

学习如何判断一个多项式是偶数、奇数还是两者都不是。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

一个函数的图像如果与y轴对称, 那么这个函数是偶函数.
从代数上讲, 如果对任意x来说 f(x)=f(x), 那么f是偶函数.
函数是 奇函数 如果其图形与原点对称。
从代数上讲, 如果对任意x来说 f(x)=f(x), 那么f是奇函数.
如果这是新的知识点, 我们建议你看看 函数对称性导论.

本课内容

您将学习如何根据多项式的方程确定多项式是偶函数、奇函数还是两者都不是。

调查研究: 单项式的对称性

单项式 是只有一项的多项式. 单项式的形式是f(x)=axn , 其中a是实数, n是大于或者等于0的整数.
在这项调查里, 我们将分析几个单项式的对称性, 并试着总结出单项式奇偶性的规律.
通常, 为了研究函数f是奇函数, 偶函数或者都不是, 我们要分析f(x):
  • 如果 f(x)f(x)相同, 那么 f 是偶函数.
  • 如果 f(x)f(x)相反, 那么 f 是奇函数.
  • 否则, 它既不是奇函数也不是偶函数.
第一个例子里, 让我们看看 f(x)=4x3的奇偶性.
f(x)=4(x)3=4(x3)(x)3=x3=4x3简化=f(x)因为 f(x)=4x3
f(x)=f(x), 所以函数 f 是奇函数.
现在尝试一些你自己的例子, 看看你是否能找到一个模式。
1) g(x)=3x2 是奇函数, 偶函数, 还是都不是?
选出正确答案:

2)h(x)=2x5 是奇函数, 偶函数, 或者都不是?
选出正确答案:

总结这些研究

通过观察以上题目, 我们发现当f时一个偶数次幂单项式时, f就是 偶函数. 同样地, 我们发现当f时一个奇数次幂单项式时, f就是 奇函数.
偶函数奇函数
示例 g(x)=3x2h(x)=2x5
通常f(x)=axnn偶数f(x)=axnn奇数
这是因为当n时偶数时, (x)n=xn. 当n时奇数时, (x)n=xn.
这也很可能是奇函数和偶函数一开始这么命名的原因!

调查研究: 多项式的对称性

这次调查研究中, 我们会研究具有一个以上项的多项式的对称性.

例 1: f(x)=2x43x25

要确定f的奇偶性, 我们看看 f(x).
f(x)=2(x)43(x)25=2(x4)3(x2)5(x)n=xn 当 n 是偶数=2x43x25简化=f(x)因为 f(x)=2x43x25
由于 f(x)=f(x), 函数 f 是一个偶函数.
请注意, f 的所有项都是偶数次幂。

例2: g(x)=5x73x3+x

再次, 我们首先看 g(x).
g(x)=5(x)73(x)3+(x)=5(x7)3(x3)+(x)(x)n=xn 当 n 时奇数=5x7+3x3x简化
此时, g(x) 的任何一项都与g(x)相反. 换言之, g(x)=g(x), 因此 g是奇函数.
请注意, g 的所有项都是奇数次幂。

例 3: h(x)=2x47x3

让我们看看h(x).
h(x)=2(x)47(x)3=2(x4)7(x3)(x)4=x4 并且 (x)3=x3=2x4+7x3简化
2x4+7x3h(x) 不同, 且与 h(x)相反.
从数学的角度, h(x)h(x)h(x)h(x), 所以h既不是奇函数也不是偶函数.
请注意, h有一个偶数次幂项和一个奇数次幂项。

总结这些研究

总体来说, 通过研究多项式的每一项, 我们可以确定它的奇偶性.
x规律示例多项式
偶函数如果多项式每一项都是偶数次幂, 它就是偶函数.f(x)=2x43x25
奇函数如果多项式每一项都是奇数次幂, 它就是奇数函数.g(x)=5x73x3+x
都不是如果多项式同时有奇数和偶数次幂项, 那么该多项式不是奇函数也不是偶函数 .h(x)=2x47x3

看看你的知识掌握地如何

3) f(x)=3x47x2+5 是奇函数, 偶函数, 还是都不是?
选出正确答案:

4) g(x)=8x76x3+x2 时奇函数, 偶函数, 或者都不是?
选出正确答案:

5) h(x)=10x5+2x3x 是奇函数, 偶函数, 或者都不是?
选出正确答案:

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