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代数2
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课程 11: 多项式的零点及其图像多项式的正, 负区间
了解多项式的零点和它们所在区间(零点可能为正数或负数）之间的关系。
学习这节课之前你应该熟悉的概念
多项式f的零对应的是图y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis在x轴上的截距。
例如，假设 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared。因为f的零是minus, 3和1，那么 y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis的图像会在left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis和left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis与x轴有交点。
如果你没有学过这个知识点，我们建议你看一下这篇文章多项式的零值.
本课内容
虽然与x的交点是函数图的一个重要特征，但为了在我们脑中留下更深刻地理解，我们需要更多的内容。
两个零之间的多项式函数的符号可以帮助我们填补这一块的知识空白。
在本文中, 我们将学习如何确定多项式为正或负的区间, 并将其反应到图上。
正区间与负区间
任何两个连续零 之间的多项式的符号是 总是正数或总是负数的。
例如以f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis的图像来进行举例。
从这个图里我们可以看到，f, left parenthesis, x, right parenthesis总是...
- ...当 minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1 为负数。
- ...当minus, 1, is less than, x, is less than, 1为正数。
- ...当1, is less than, x, is less than, 3为负数。
- ...当3, is less than, x, is less than, infinity为正数。
多项式在零之间的部分不是一定会改变正负的。
例如以g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared的图像来进行举例。
从这个图里我们可以看到，g, left parenthesis, x, right parenthesis总是...
- ...当 minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2 为负数。
- ...当minus, 2, is less than, x, is less than, 0为负数。
- ...当0, is less than, x, is less than, infinity为正数。
请注意, g, left parenthesis, x, right parenthesis 不会 x, equals, minus, 2 周围更改正负符号。
确定多项式的正区间和负区间
让我们找出多项式的 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared的正负区间。
f 的零是 minus, 3 和 1。 这将在f 的符号是常量的时候创建三个区间:
让我们找到f在minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3区间的符号。
我们知道 f 在这个时间间隔中要么始终为正数, 要么始终为负值。 通过计算f 在这个区间中的一个值的， 我们就可以确定f在这个区间中的正负性。 由于 minus, 4 在此间隔中，让我们找到 f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis的值。
因为我们只对这里的多项式的符号感兴趣，所以我们不必完全计算它:
从这里我们知道f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis将得到一个负数，所以f, left parenthesis, x, right parenthesis 在区间minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3中，会一直保持为负数。
我们可以对其他的区间重复这个过程。
下面的表格中汇总了结果。
| 区间 | f, left parenthesis, x, right parenthesis中一个数的值 | f 在这个区间的符号 | f在图上的表示 |
|---|---|---|---|
| minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 | f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0 | 负 | 在x轴以下 |
| minus, 3, is less than, x, is less than, 1 | f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0 | 正 | 在x轴以上 |
| 1, is less than, x, is less than, infinity | f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0 | 正 | 在x轴以上 |
这个与 y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis的图像所表达出来的是一致的。