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主要内容

多项式的零点及其图像

了解多项式的零点、根及 x截距之间的关系。了解零点多样性。

本课内容

在研究多项式时,通常会听到术语零、根、因子和 x轴截距(或者说是与x轴的交点)。
在本文中, 我们将探讨多项式的特征和它们之间的特殊关系。

多项式函数基础

对于多项式 f 和实数 k,下面的语句是等效的:
  • x=k,或者说是对于等式 f(x)=0
    • k 是函数 f
    • (k,0) 是关于 对于图y=f(x)x轴的交点
    • xkf(x)的一个线性因子
让我们用多项式 g(x)=(x3)(x+2) 来理解这一点, 它可以写为 g(x)=(x3)(x2)
首先, 我们看到 g(x) 的线性因子为 (x3)(x(2))
我们将 g(x)=0 代入得到 x, 我们会得到x=3 or x=2。这就是这个等式的解,或者说这个等式的
一个函数的 是一个可以让函数式等于 0x 的值。 因为我们知道 x=3x=2g(x)=0, 所以 32 是函数 g 的零。
最后,图 y=g(x)x轴 的交点会满足上面已经解决的等式 0=g(x)。与 x轴 的交点分别是 (3,0)(2,0)

看看你的知识掌握地如何

1) f(x)=(x+4)(x7) 的零是多少?
选出正确答案:

2) 函数 g 的图 与x轴在 (2,0)交叉。 等式 g(x)=0的一个根一定是多少?
x=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

3)h的零分别是 13。 下列哪一个可以是h(x)
选出正确答案:

零点和多重性

当线性因子在多项式的分解过程中多次出现时,让相关的零具有 多重性
例如,在多项式 f(x)=(x1)(x4)2 中, 数字 4 多重性 2 的零。
注意,当我们展开 f(x) 时,因子 (x4) 出现了 2 次。
f(x)=(x1)(x4)(x4)
因此, 在某种意义上, 当您解决 f(x)=0 时, 您将得到 x=4 两次。
0=(x1)(x4)(x4)x1=0x4=0x4=0x=1x=4x=4
通常, 如果 xk 在多项式的分解中发生 m 次, 则 k 是多重性 m的零。 多重性 2 的零称为 双零

看看你的知识掌握地如何

4) 哪个 f(x)=(x3)(x1)3的零 有多重性 3
选出正确答案:

5) 哪个g(x)=(x+1)3(2x+1)2的零 是双重零?
选出正确答案:

图像联系

零的多重性很重要, 因为它告诉我们多项式的图将在零附近是怎么样的。
例如, 请注意, f(x)=(x1)(x4)2 的图表在零 1 周围的行为与零 4 前后不同, 这是一个双零。
具体来说, 虽然图 在 x=1 上与 x-坐标轴交叉,但它只在 x=4触及 x轴。
让我们来看看一个函数的图形,它具有相同的零,但不同的多样性。 例如, g(x)=(x1)2(x4)。请注意, 对于此函数,1 现在是一个双零,而 4 为一个零。
现在我们看到 g 的图与 x轴在 x=1接触到了一起,但是 交叉 是发生在 x=4
一般来说,函数f的零值与它的图像在x轴的交点相对应。如果f的零值是奇数次幂,y=f(x)的图像会在那个x穿过x轴。如果函数f有一个偶数次幂的零,那么它的图像在那一点与x相切

看看你的知识掌握地如何

6) 在图表的函数中, 零 6 的多重性是偶数还是奇数?
选出正确答案:

7) 哪一个图表是h(x)=x2(x3)
选出正确答案:

挑战问题

7) 哪一个图表是 f(x)=x3+4x24x
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