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主要内容

代数2

课程: 代数2 > 单元 4

课程 11: 多项式的零点及其图像
数学
代数2
多项式
多项式的零点及其图像
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多项式的零点及其图像

Google课堂
了解多项式的零点、根及 x截距之间的关系。了解零点多样性。

本课内容

在研究多项式时，通常会听到术语零、根、因子和 x轴截距（或者说是与x轴的交点）。
在本文中, 我们将探讨多项式的特征和它们之间的特殊关系。

多项式函数基础

对于多项式 f 和实数 k，下面的语句是等效的：
  • x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 是 根 ，或者说是对于等式 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
    • start color #01a995, k, end color #01a995 是函数 f的零
    • left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis 是关于 对于图y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis与x轴的交点
    • x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 是f, left parenthesis, x, right parenthesis的一个线性因子
让我们用多项式 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis 来理解这一点, 它可以写为 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis。
首先, 我们看到 g, left parenthesis, x, right parenthesis 的线性因子为 left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis 和 left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis。
我们将 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 代入得到 x， 我们会得到x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 or x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995。这就是这个等式的解，或者说这个等式的根。
一个函数的 零 是一个可以让函数式等于 0 的 x 的值。 因为我们知道 x, equals, 3 和 x, equals, minus, 2 时 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0， 所以 start color #01a995, 3, end color #01a995 和 start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 是函数 g 的零。
最后，图 y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis 与 x轴 的交点会满足上面已经解决的等式 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis。与 x轴 的交点分别是 left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis 和 left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis。

看看你的知识掌握地如何

1) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis 的零是多少？
选出正确答案：

2) 函数 g 的图 与x轴在 left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis交叉。 等式 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0的一个根一定是多少？
x, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

3)h的零分别是 minus, 1 和 3。 下列哪一个可以是h, left parenthesis, x, right parenthesis？
选出正确答案：

零点和多重性

当线性因子在多项式的分解过程中多次出现时，让相关的零具有 多重性 。
例如，在多项式 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript 中, 数字 4 是 多重性 start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff 的零。
注意，当我们展开 f, left parenthesis, x, right parenthesis 时，因子 left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis 出现了 start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff 次。
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
因此, 在某种意义上, 当您解决 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 时, 您将得到 x, equals, 4 两次。
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
通常, 如果 x, minus, k 在多项式的分解中发生 m 次, 则 k 是多重性 m的零。 多重性 2 的零称为 双零 。

看看你的知识掌握地如何

4) 哪个 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed的零 有多重性 3？
选出正确答案：

5) 哪个g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared的零 是双重零？
选出正确答案：

图像联系

零的多重性很重要, 因为它告诉我们多项式的图将在零附近是怎么样的。
例如, 请注意, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared 的图表在零 1 周围的行为与零 4 前后不同, 这是一个双零。
具体来说, 虽然图 在 x, equals, 1 上与 x-坐标轴交叉，但它只在 x, equals, 4 时触及 x轴。
让我们来看看一个函数的图形，它具有相同的零，但不同的多样性。 例如， g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis。请注意, 对于此函数，1 现在是一个双零，而 4 为一个零。
现在我们看到 g 的图与 x轴在 x, equals, 1时接触到了一起，但是 交叉 是发生在 x, equals, 4。
一般来说，函数f的零值与它的图像在x轴的交点相对应。如果f的零值是奇数次幂，y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis的图像会在那个x值穿过x轴。如果函数f有一个偶数次幂的零，那么它的图像在那一点与x轴相切。

看看你的知识掌握地如何

6) 在图表的函数中, 零 6 的多重性是偶数还是奇数？
选出正确答案：

7) 哪一个图表是h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis？
选出正确答案：

挑战问题

7) 哪一个图表是 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x？
选出正确答案：

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