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主要内容

平方根函数的图像

萨尔绘制了 y =√x 的图像,然后,他展示了几个例子, 告诉我们移动和拉伸 y =√x 和 y=x^2 的图像的方法, 以及这些图像对应等式的格式。 Sal KhanCK-12 Foundation 创建

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我想你已经熟悉平方根的概念了, 但是我还是想再阐明一下 我觉得可能有一点 容易混淆的数学符号。 希望你脑中的概念更加清晰。 当我写一个根号 9, 你知道应该要读成9的平方根, 但是我想阐明一点: 当一个数字在根号下, 就像这样,这只表示了 9 的主平方根, 主平方根,也就是 9 的正平方根。 所以这个式子等于 3, 这正是我要说的,你可能已经知道 9 有两个实数平方根。 根据定义,一个平方根是—— 9 的平方根就是平方后等于 9 的数, 3 是它的平方根,但是 -3 也是, -3 也是它的平方根。 但是如果你只写一个根号, 你实际上只表示了正的平方根, 或者叫主平方根, 如果你要表示负的平方根, 实际上你需要在根号前写一个负号, 这等于 -3。 或者你可以同时表示正和负的平方根, 也就是主平方根和负平方根, 那就需要在根号前加一个正负号, 当然,这就等于 3 和 -3。 这个说完了, 我们回归正题。 y 等于 x 主平方根的函数, 与 y = x 平方的函数, 两者的函数图像有什么关系。 我写在这里更好一些, 看看它与 y 等于 x 平方的函数图像有什么关系。 然后,我们会把它们移动一下, 这样能更好理解 导致这些函数图像上下左右移动的原因。 所以在我们使用绘图计算器前, 先来做一个 x 和 y 值的表格。 这边是 y 等于 x 平方, 这是对应的 x 和 y 的值, 这边是 y 等于 x 平方根, 这是对应的 x 和 y 的值。 我们任选一些 x 值, 在正值范围内选取, x 等于 0、1—— 用不同颜色来标记, 当 x = 0,y 等于什么? y 等于 x 的平方,0 的平方是 0, 当 x = 1,y 等于 1 的平方,也就是 1, 当 x = 2,y 等于 2 的平方,也就是 4, 当 x = 3,y 等于 3 的平方,也就是 9, 这个我们见过, 我可以一直继续下去, 在这里加个 4, 当 x = 4,y = 4 的平方,也就是 16 这些我们见过, 抛物线我们也画过, 复习而已。 现在来看看 y = x 的主平方根, 是什么样。 现在我要选一些 x 的值, 有意思的值, 当 x = 0,y 等于什么? 0 的主平方根? 还是 0, 0 的平方等于 0。 当 x = 1 时,x 的主平方根是 1, 1 还有一个平方根是 -1, 但是这里没有写符号, 所以只有主平方根。 当 x = 4 时,y 等于什么? 4 的主平方根是 2, 当 x = 9 时,y 等于什么? 当 x = 9,9 的主平方根是 3。 最后,当 x = 16 时,主平方根是 4, 我想你已经看出来两者的关系了, 其实就是把 x 和 y 交换了。 这里是相同的值, 只不过这是 x = 2 和 y = 4, 而这是 x = 4,y = 2, 3,9 和 9,3 4,16 和 16,4 这些都很合理。 如果把两边同时平方, 你会得到 y 的平方等于 x, 当然,y 只能取正值, 因为这里只能是正的, 因为这是主平方根。 但是总的来说, 我们是把这两个函数的 x 和 y 互换了, 当然你要假设 x 和 y 的取值都为正。 现在来看看函数图像。 我想你们应该已经知道—— 我先在这里画图, 我先用手画,我觉得这样 比用画图计算器更有益。 x 和 y 取值范围都保持在正数, 也就是在第一象限。 我们先画这个函数, 我们有 (0, 0) 然后是 (1, 1), 然后是 2——我要画的小一点, 比刚才的再小一点。 先标上 1,2,3... 哎呀我这么画吧, 先标上 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 12,13,14,15,16。 我大概就要画这么多。 然后 y 轴也标上 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 12,13,14,15,16。 y 轴也要标到 16 才行。 好,现在开始做图。 画点 (0, 0),(1, 1), 2 对上 1,2,3,4, 所以 (2, 4) 画在这里, (3, 9) 找一下 9 在哪里, 所以 (3, 9) 大约在这里, 然后还有 (4, 16), (4, 16) 会在最上面。 函数 y 等于 x 平方的图像, 我们之前学过, 把点连起来,是这个样子。 我们只画了第一象限的部分, 所以像 U 一样平滑向上,像这样。 现在我们来画函数 y 等于 x 的主平方根的图像。 所以一样,我们先画 (0, 0), 然后是 (1, 1), 再来是 (4, 2), 1, 2, 3, 4 ,(4, 2) 在这里。 然后是 (9, 3), 5, 6, 7, 8, 9... (9, 3) 在这里, 然后是 (16, 4), (16, 4) 大约在这边。 所以这个函数图像大约是这样。 请注意,两条曲线看上去 好像随着坐标轴翻转, 左边这个沿着 y 轴延伸, 右边则是沿着 x 轴延伸。 这就是因为我们互换 x 和 y 的值, 所以两条曲线才会这样, 尤其是我们只考虑了第一象限。 其实这两个函数图像是对称的, 对称轴是直线 y = x。 我们以后会讲到反函数, 反函数就会沿着直线 y = x 对称。 我们用画图计算器,图会更好看一些。 我在网上找到的, 很快就能搜到。 我想要感谢一下 制作它的朋友们, 网址是 my.hrw.com/math06 你可以暂停视频, 希望你们能看见这个网址, 如果你是用高清画质,应该能看清楚。 现在来画一些不同的图, 用这个软件画出的图, 比我手画的要清楚一些。 我们再看看刚才我写的函数, 这样露出来,好, 就先来画 y = x 平方, 然后再画 y = x 的平方根, 用绿色的线画。 右边有一些按钮,我移过来一些, 你们才知道我在干嘛, 右边这里有一些按钮,平方 或是平方根等等的都有。 好,现在专心看这个。 生成函数图像。 它先画了 y 等于 x 平方, 然后又画了 y 等于 x 的平方根, 看,如果只看第一象限, 你会发现,这和我刚才画的一样, 当然,我画的比较丑。 好,现在来玩一玩! 我也还没好好用它画些图呢, 来看看会怎么样。 我们要把两个函数图像做些改变, x 平方这个函数,我打算做两个改变, 缩放,以及位移, 这是 x 的平方。 我们先把 y 等于 x 平方的图像进行缩放 看看会如何。 之后我们把平方根函数也这么做做看。 每个式子都会有类似的变化。 当你乘上 2,不对,不是 2 次方 而是 y 等于 2 乘以 x 的平方, 然后再来一个乘以 1.5 的——这样吧 乘以 0.4,不,0.5 乘以 x 平方。 都生成图像。 这是 x 的平方, 注意,y = x 平方是红色曲线, 当它乘以 2,图像还是一个抛物线, 顶点不变,但是 y 值向两个方向的上升会更快。 而 y 等于 0.5 乘以 x 平方 也还是抛物线,但是 y 值上升得更慢。 这个函数图像的 U 型会更宽, 这是因为我们乘了小于 1 的数。 所以乘的系数的大小, 就能决定抛物线开口变宽还是变窄。 如果想把函数图像左右移动, 你们想想该怎么做。 这是 y 等于 x 平方的图像, 现在我要把这个图像 向右移动 4 个单位。 把 x 减掉 4,就能往右移 4 格, (x - 4)的平方。 如果我想要往左移 2 个单位, 那么就应该是(x + 2)的平方, 图像会是什么样? 你看,这和我说的一模一样。 (x - 4)的平方,图像是右移了 4 格, (x + 2)的平方,图像则是左移了 2 格。 我现在在讲的移位, 一开始可能不太好懂。 我们来想想原因, 这里的顶点是 x = 0, x = 0 时,y 等于 0 的平方。 绿线的顶点在 x = 4, 而当 x = 4 时,上面式子的 x 也是 4, 所以式子中是 4 减 4, 还是在算 0 的平方。 4 - 4 = 0,y 等于 0 的平方。 然后蓝色曲线,当 x = -2 时,-2 + 2 还是在算 0 的平方, 换句话说,你都在算零的平方, 红色代入 0,等于绿色代入 4, 而蓝色代入 -2,也等于红色代入 0。 你仔细琢磨一下。 或者你可以这样想, 当 x=1 时,我们在红色抛物线的这一点。 但在绿色抛物线上的 x = 5 时, 因为是 5 减 4, 括号里面等于 1,在绿线上得到的 y 值 和红线代入 1 时的 y 值一样, 所以在抛物线上的位置也一样。 我希望你这样来想, 减掉 4,就会右移 4 格, 加上 2,就会左移 2 格, 虽然这可能有些不直观, 但其实是有理可循的。 我们来干另一件有趣事, 把抛物线上下移动。 这个其实很简单, 如果要把这条曲线往上移, 比如把紅色曲线往上移一点, 你就在 x 的平方后面加 1, 你看它往上移了。 如果想把绿色曲线往下移 5 格, 就在原先式子后面放个 -5, 然后你按下绘图键,它就会往下移 5 格。 如果想要曲线开口变宽, 也就是函数值变小, 那么把原式乘上 0.5, 现在绿色曲线被拉宽了, 开口变宽了,也就是打开的速度变慢了, 同样的道理也能用在 主平方根那个式子, 我们来试试看, 把上面的步骤再来一次, 其实刚才的概念可以套用到任何函数中, 我们用 y 等于 x 的平方根来做调整, 我们用绿线画 y 等于 x 减 5 的平方根的图像, 这样原本的图像就会往右移 5 格。 用蓝线画(x + 4)的平方根, 这样就能把图往左移 4 格, 然后再往下移 3 格。 把它们都画出来。 这是 x 平方根, 这是(x - 5)的平方根, 注意这两个长的一模一样, 只是往右移了 5 格, 当 x = 5 时,根号下是 0, 这与 0 的平方根一样, 所以这个点等于这个点, (x + 4)的平方根, 就相当于往左移 4 个单位, 当 x = -4 时,根号下等于 0, 所以这个点等于这个点。 但是我还减了 3,所以曲线下移 3 格。 这个点就是起始点。 如果我想要蓝色线打开的慢一些, 也就是说它比较窄, 函数值是被缩小的。 因为这个曲线沿 x 轴打开, 乘上一个小系数,曲线就会变得比较窄。 好的,我们看, 而我想要绿色曲线张开的大一些。 所以我写 3 乘以 x - 5 的平方根, 好,把所有图像画出来。 你看蓝色曲线变窄了, 而绿色曲线开口变得比较大, 也可以说是上升得比较快, 这就是放大。 我们也可以把它往上移 4 格, 然后画图,来了来了, 但要注意,这不是躺倒了的抛物线, 这是主平方根函数, 但如果你要写正负平方根, 一个 x 值会对应两个 y 值, 这就根本不是个函数。 所以我们用的是主平方根。 总之,我们今天讲了抛物线 和平方根函数图像之间的关系, 希望会对你有所帮助。 对了,还有怎么给函数移位, 这些很有用, 以后在学反函数和函数移位时会用到。