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平方根方程与增根:简介

萨尔解释了什么是平方根方程, 并给了这类方程的求解例子,并检查了增根。 Sal KhanCK-12 Foundation 创建

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视频字幕

在这个视频中, 我们开始接触解无理方程的问题, 无理方程就是指 未知数在平方根或者更高次方根之内的方程, 但我们今天重点是要理解 在解无理方程中 会出现的一个有趣现象。 是什么呢?我们来看, 比如方程 x 的平方根等于 2x 减 6。 解无理方程, 首先要做的就是 把根式部分单独放在等号一边。 这个方程中只有一项平方根。 然后我们把根式部分单独放在等号一边, 这个例子本身就是这样了, 根号 x 单独呆在等号左边, 然后我们把方程两边同时平方。 我们把方程两边同时平方, 我写下来, 不急,慢慢来算, 这部分的平方的就等于 2x 减 6 的平方。 平方看起来像是有效的 解方程操作。 如果它等于它, 那么它的平方 也应该等于它的平方。 我们继续, 根号 x 的平方, 就等于 x, 我们得到 x 等于—— 这部分的平方等于 2x 的平方,也就是 4x 方, 这是 2x 的平方,整体的平方, 4x 方,然后是这两个乘起来, 是 -12x, 然后是它的 2 倍,也就是减去 24x, 最后是 -6 的平方,加 36。 如果你觉得从这一步 到这一步有些困难, 那么我建议你再去复习一下 多项式乘法, 或者二项式乘法, 或者本例中的平方和公式。 总的来看,这就是它的平方, 4x 方。 然后减去 2 倍的这两项的积, 这两项的积是 -12x, 2 倍就是 -24x, 最后是它的平方。 这就是化简之后的结果, 我们看两边减去 x 之后会是什么样。 方程的两边同时减去 x, 左边就等于 0, 右边等于 4x 方减 25x 加 36。 现在,无理方程已经变成了一个 标准的二次方程。 再进行化简, 不用很麻烦的因式分解, 我们直接用求根公式。 通过二次方程的求根公式, 我们知道,它的解为 x 等于 -b,b 就是 -25, 负的 -25,就是正 25, 加减根号下 25 平方, 25 的平方是 625,减 4 乘以 a,也就是 4,再乘以 c, 也就是 36,所有这些是分子, 分母是 2 乘以 4,也就是 8。 调出计算器,我们来算一算它等于多少。 我们看,625 减去—— 这里是 16 乘以 36 减去 16 乘以 36 等于 49。 漂亮,这是一个平方数。 49 的平方根我们知道,是 7, 我们回到这个式子, 这里面我们算出来是 49。 所以 x 等于 25 加减根号 49,也就是 7, 分母是 8。 我们的两个根,如果是加 7, 那么 x 等于 25 加 7,就是 32,除以 8, 也就是 x 等于 4, 另一个根,我用不同的颜色。 x 等于 25 减 7,也就是 18,除以 8, 18 除以 8 商 2,余 2, 所以等于 2 又 2/8, 或者 2 又 1/4,再或者 2.25。 现在,我来给你展示一个有趣的现象。 我指出这个谜题之后,希望你暂停视频, 自己先想想,然后再看我的讲解。 我们来验证一下我们的解。 我们先看 x 等于 4, 带入 x 等于 4, 这里是 4 的主平方根, 它等于 2 乘以 4 减 6。 4 的主平方根是正 2, 2 应该等于 2 乘以 4 减 6, 没错。 确实相等。 4 这个根没问题。 然后我们再验证 2.25, 我们需要计算 2.25 的平方根, 2.25,我把根号画的大一些, 2.25 的主平方根应该等于 2 乘以 2.25 减 6。 这里口算可能有点困难, 你可能知道 225 的平方根是 15, 那么,2.25 的平方根就应该是 1.5, 我用计算器验证一下, 2.25,开平方, 等于 1.5。 它的主平方根是 1.5, 另一个平方根是 -1.5, 这是 1.5。 根据原式,它应该等于 2 乘以 2.25,就是 4.5,再减 6, 成立吗? 我们得到了 1.5 等于 -1.5, 不成立。 2.25 不是这个无理方程的根, 我们称其为增根。 2.25 是一个增根。 这就是迷惑之处:我们怎么会得到 2.25 这个答案? 看起来我们每一步都没问题, 最后用求根公式,却得出个 2.25。 这里有个线索: 我们带入 2.25 之后, 得到 1.5 等于 -1.5, 所以我们的某些计算, 并不能满足原式。 再来一条线索: 我们来看这个方程, 如果你代入这个方程, 你会发现两个根都能成立。 你可以自己另找时间验证一下。 把 x 等于 2.25 带入, 你会发现它是成立的。 代入 4,还是成立的。 所以,这个方程有这两个根。 所以两边同时平方这一步, 是有些问题的, 导致了两个方程有些不同。 这个方程与原方程有些小小的不同。 揭晓答案, 有两种思路, 要是从这个方程回到原方程 就需要两边同时求“平方根”, 但我们却对两边求“主平方根”, 这是不同的。 现在我们把负的平方根也算进去, 注意,原方程只是主平方根。 从这个式子—— 我来写的更清楚一些。 这个方程,我们已经验证过 两个根都能使它成立, 原方程的有效根和增根 都能使这个方程成立。 但只有有效根,才能使原方程成立。 我把两个根都满足的 这个方程写下来。 这个小谜题非常有意思, 我估计它能让你对 主平方根和平方根之间 的细微差别有更深的理解。 你也会发现, 把两边同时平方这个动作, 很可能让原方程的信息 变多了或者变少了。 这个方程可以写为: x 等于 2x 减 6 的平方。 这是这个方程的变形, 没有问题。 但这个方程也可以变成另一个样子, 也完全合理。 也可以写为: x 等于 -1 乘以 2x 减 6 的平方。 这为什么是等价变换呢? 因为平方之后, -1 就没有了。 这两者是等价的。 这个式子又可以写成 x 等于—— 把 -1 乘进去, 得到 -2x 加 6,或者 6 减 2x 的平方。 这个方程和这个方程, 是上面方程的两种表示方式。 当我们进行平方根运算时, 当我们—— 有两种方式来理解, 当我们做平方运算, 是假设了这是唯一的表示形式, 但这还有另一种。 所以我们找到了两个根, 但只有 4 满足这个表示形式。 这个有点不好理解, 我们只考虑了正的平方根, 并没有考虑负根的情况, 因为当我们给方程两边开平方的时候, 我们只计算了主平方根。 另一种理解方法是—— 我把原方程重写一遍, 根号 x 等于 2x 减 6, 现在我们说 4 是它的一个根, 2.25 不是它的根。 2.25 是它的根,除非写成 x 的两个平方根 等于 2x 减 6, 现在代入试一试, 2.25 是它的根了。 如果选择 2.25 的负平方根, 它等于 2 乘以 2.25, 也就是 4.5,再减 6,就等于 -1.5。 等式成立。 而正平方根的方程,根就是 4。 这就是我们得到两个根的原因。 如果把这里两边平方, 这样可能更好记, 这里两边平方, 得到的方程就会有两个根。 你现在可能觉得有些乱, 我的本意可不是要把你搞乱。 我们以后解无理方程时有个简单办法: 常规动作,根式单独放一边, 两边平方,然后继续解方程, 也许你会得到多个根, 把结果代回原方程, 不满足原方程的,就是增根。 但我刚才的讲解, 解释的是为什么会出现增根。 希望你能得到一些洞察: 问题出在 x 的平方根上, 如果是正负根号 x,那么就不会有增根。 只写根号 x,不算是真正的 x 的平方根。