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主要内容

有理表达式的加减

你学会了有理数表达加法/减法的基本知识吗? 很好! 现在, 深入了解一些高级示例.

学习本节课之前你需要了解的内容

一个 有理表达式 是两个多项式的比值.
要加或减两个有同样 分母的有理式,我们只需要把两个分子相加或相减,然后再把结果写在共同分母上就可以了.
当分母 相同时,我们必须进行一些操作以使它们可以变成 相同的分母. 换言之,我们必须得出一个共同的分母.
如果这些对你来说是新知识,我们建议你先学习以下章节:

本课内容

在本课中,你将会练习如何加减不同分母的有理表达式. 在以下的例子中,你将会使用 最小公分母 作为你的共同分母并且探索为什么这样做是有帮助的.

热身: 3x22x+1

如果想要将两个有理式相减,两个分数必须有相同的分母。
在此例中,我们可以将第一个分数乘以(x+1x+1),第二个分数乘以(x2x2) 来得到一个公分母。
然后,我们就可以减去分子并把结果写在共同的分母上了.
=3x22x+1=3x2(x+1x+1)2x+1(x2x2)=3(x+1)(x2)(x+1)2(x2)(x+1)(x2)=3(x+1)2(x2)(x2)(x+1)=3x+32x+4(x2)(x+1)=x+7(x2)(x+1)

看看你的知识掌握地如何

问题1
加法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。
5xx+3+4x+2=

最小公分母

数字分数

有时,两个分数的分母虽然不同,但却有一些共同的因素.
例如34+16
=34+16=322+123=322(33)+123(22)=912+212=1112
注意在这到题目中我们所用的公分母不是两个分母的乘积(24)。而我们用的是 46最小公倍数12)。
两个或更多个分母的最小公倍数被称之为 最小公分母

变量表达式

现在让我们在以下的加法中应用一下吧
2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)
首先,找到最小公分母:
2(x2)(x+1)需要一个因式(x+3)+3(x+1)(x+3)需要一个因式(x2)
所以最小公分母为 (x2)(x+1)(x+3)
我们可以把有理式相加,如下:
=2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x2)(x+1)(x+3x+3)+3(x+1)(x+3)(x2x2)=2(x+3)(x2)(x+1)(x+3)+3(x2)(x+1)(x+3)(x2)=2(x+3)+3(x2)(x2)(x+1)(x+3)=2x+6+3x6(x2)(x+1)(x+3)=5x(x2)(x+1)(x+3)

看看你对知识掌握得如何

问题2
加法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。
1x(x6)+3(x+1)(x6)=

问题3
减法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。
3x2(x1)4(x1)(x+2)=

挑战题
加法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。
2x21+1x23x4=

为什么要使用最小公分母?

你可能在想为什么使用 最小公分母来做有理式加减法那么重要.
不过,这不是一个硬性要求,而在数字分数中使用其他的分母也足够简单.
例如,以下表格显示有利用两个不同的分母来计算 34+16 的方法:一个是利用最小公分母12)而另一个是利用两个分母的乘积(24)。
最小公分母 (12)公分母 (24)
 34+16=34(33)+16(22)=912+212=11121234+16=34(66)+16(44)=1824+424=2224=1112
注意,在使用24为公分母时. 你的计算会多一个步骤。数字更大而结果的分数也需要被简化.
在加减有理式时,如果你不使用最小公分母的话,同样的情况也会发生。
但是,利用有理式时,过程就要复杂多了,因为分子和分母都会是多项式而不是整数!所以你需要进行更高级多项式之间的计算以及分解因式。
通过使用最小公分母,在加减有理式的时候,这些多余的步骤是可以被避免的.

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