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有理表达式的加减

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你学会了有理数表达加法/减法的基本知识吗? 很好! 现在, 深入了解一些高级示例.

学习本节课之前你需要了解的内容

一个 有理表达式 是两个多项式的比值.

要加或减两个有同样分母的有理式，我们只需要把两个分子相加或相减，然后再把结果写在共同分母上就可以了.

当分母不相同时，我们必须进行一些操作以使它们可以变成相同的分母. 换言之，我们必须得出一个共同的分母.

如果这些对你来说是新知识，我们建议你先学习以下章节：

本课内容

在本课中，你将会练习如何加减不同分母的有理表达式. 在以下的例子中，你将会使用 最小公分母 作为你的共同分母并且探索为什么这样做是有帮助的.

热身： $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

如果想要将两个有理式相减，两个分数必须有相同的分母。

在此例中，我们可以将第一个分数乘以

(\frac{x + 1}{x + 1})

，第二个分数乘以

(\frac{x - 2}{x - 2})

来得到一个公分母。

[为什么我们能这么做呢? ]

然后，我们就可以减去分子并把结果写在共同的分母上了.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

看看你的知识掌握地如何

问题1

加法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。

\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =

最小公分母

数字分数

有时，两个分数的分母虽然不同，但却有一些共同的因素.

例如

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

：

\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}

注意在这到题目中我们所用的公分母不是两个分母的乘积（

24

）。而我们用的是

4

和

6

的 最小公倍数（

12

）。

[最小公倍数是什么意思？]

两个或更多个分母的最小公倍数被称之为 最小公分母。

[你是怎么知道12是这个例子中的最小公分母的？]

变量表达式

现在让我们在以下的加法中应用一下吧

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

首先，找到最小公分母：

\underset{\begin{aligned} 需要一个 \\ 因式 \\ (x + 3) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}}} + \underset{\begin{aligned} 需要一个 \\ 因式 \\ (x - 2) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{3}{(x + 1) (x + 3)}}}

所以最小公分母为

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

。

我们可以把有理式相加，如下：

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

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问题2

加法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。

\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =

问题3

减法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。

\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =

挑战题

加法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

为什么要使用最小公分母？

你可能在想为什么使用 最小公分母来做有理式加减法那么重要.

不过，这不是一个硬性要求，而在数字分数中使用其他的分母也足够简单.

例如，以下表格显示有利用两个不同的分母来计算

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

的方法：一个是利用最小公分母（

12

）而另一个是利用两个分母的乘积（

24

）。

最小公分母 ( $12$ ‍)	公分母 ( $24$ ‍)
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

注意，在使用

24

为公分母时. 你的计算会多一个步骤。数字更大而结果的分数也需要被简化.

在加减有理式时，如果你不使用最小公分母的话，同样的情况也会发生。

但是，利用有理式时，过程就要复杂多了，因为分子和分母都会是多项式而不是整数！所以你需要进行更高级多项式之间的计算以及分解因式。

[我想要看一个这种情况的有理式的例子]

通过使用最小公分母，在加减有理式的时候，这些多余的步骤是可以被避免的.

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代数2

课程: 代数2 > 单元 6

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