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主要内容

有理表达式的加减

你学会了有理数表达加法/减法的基本知识吗? 很好! 现在, 深入了解一些高级示例.

学习本节课之前你需要了解的内容

一个 有理表达式 是两个多项式的比值.
要加或减两个有同样 分母的有理式,我们只需要把两个分子相加或相减,然后再把结果写在共同分母上就可以了.
当分母 相同时,我们必须进行一些操作以使它们可以变成 相同的分母. 换言之,我们必须得出一个共同的分母.
如果这些对你来说是新知识,我们建议你先学习以下章节:

本课内容

在本课中,你将会练习如何加减不同分母的有理表达式. 在以下的例子中,你将会使用 最小公分母 作为你的共同分母并且探索为什么这样做是有帮助的.

热身: start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction

如果想要将两个有理式相减,两个分数必须有相同的分母。
在此例中,我们可以将第一个分数乘以left parenthesis, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, right parenthesis,第二个分数乘以left parenthesis, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, right parenthesis 来得到一个公分母。
然后,我们就可以减去分子并把结果写在共同的分母上了.
=3x22x+1=3x2(x+1x+1)2x+1(x2x2)=3(x+1)(x2)(x+1)2(x2)(x+1)(x2)=3(x+1)2(x2)(x2)(x+1)=3x+32x+4(x2)(x+1)=x+7(x2)(x+1)\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{3}{\blueE{x-2}}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE{x-2}}{\left(\greenE{\dfrac{x+1}{x+1}}\right)}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}{\left(\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{3x+3-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)} \end{aligned}

看看你的知识掌握地如何

问题1
加法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。
start fraction, 5, x, divided by, x, plus, 3, end fraction, plus, start fraction, 4, divided by, x, plus, 2, end fraction, equals

最小公分母

数字分数

有时,两个分数的分母虽然不同,但却有一些共同的因素.
例如start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction
=34+16=322+123=322(33)+123(22)=912+212=1112\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\cdot \greenE2}+\dfrac{1}{\blueE2\cdot \goldE3} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\cdot \greenE2} {\left(\dfrac{\goldE3}{\goldE3}\right)}+\dfrac{1}{\blueE2\cdot\goldE3}{\left(\dfrac{\greenE2}{\greenE2}\right)} \\\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12} \\\\ &=\dfrac{11}{12} \end{aligned}
注意在这到题目中我们所用的公分母不是两个分母的乘积(24)。而我们用的是 46最小公倍数12)。
两个或更多个分母的最小公倍数被称之为 最小公分母

变量表达式

现在让我们在以下的加法中应用一下吧
start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
首先,找到最小公分母:
2(x2)(x+1)需要一个因式(x+3)+3(x+1)(x+3)需要一个因式(x2)\underbrace{\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{需要一个} \\ &\scriptsize\text{因式} \\ &\scriptsize \purpleD{(x+3)} \end{aligned}}+\underbrace{\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{需要一个} \\ &\scriptsize\text{因式} \\ &\scriptsize \blueE{(x-2)} \end{aligned}}
所以最小公分母为 start color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #0d923f, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color #0d923f, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #7854ab
我们可以把有理式相加,如下:
=2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x2)(x+1)(x+3x+3)+3(x+1)(x+3)(x2x2)=2(x+3)(x2)(x+1)(x+3)+3(x2)(x+1)(x+3)(x2)=2(x+3)+3(x2)(x2)(x+1)(x+3)=2x+6+3x6(x2)(x+1)(x+3)=5x(x2)(x+1)(x+3)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}} \\\\ &=\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}{\left(\purpleD{\dfrac{x+3}{x+3}}\right)}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}{\left(\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)}+\dfrac{3(x-2)}{(x+1)(x+3)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)+3(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{2x+6+3x-6}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)} \end{aligned}

看看你对知识掌握得如何

问题2
加法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。
start fraction, 1, divided by, x, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, equals

问题3
减法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。
start fraction, 3, x, divided by, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end fraction, minus, start fraction, 4, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end fraction, equals

挑战题
加法。
分子应该被扩展并简化。分母应该被扩展或是分解为因式。
start fraction, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals

为什么要使用最小公分母?

你可能在想为什么使用 最小公分母来做有理式加减法那么重要.
不过,这不是一个硬性要求,而在数字分数中使用其他的分母也足够简单.
例如,以下表格显示有利用两个不同的分母来计算 start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction 的方法:一个是利用最小公分母12)而另一个是利用两个分母的乘积(24)。
最小公分母 (12)公分母 (24)
 34+16=34(33)+16(22)=912+212=111212\begin{aligned}~\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}&=\dfrac{3}{\blueE4} {\left(\dfrac{\goldE3}{\goldE3}\right)}+\dfrac{1}{\greenE6}{\left(\dfrac{\purpleD2}{\purpleD2}\right)}\\\\&=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\\\&=\dfrac{11}{12}\\\\&\phantom{\dfrac{1}{2}}\end{aligned}34+16=34(66)+16(44)=1824+424=2224=1112\begin{aligned}\dfrac{3}{\blueE4}+\dfrac{1}{\greenE6}&=\dfrac{3}{\blueE4}\left(\greenE{\dfrac{6}{6}}\right)+\dfrac{1}{\greenE6}\left(\blueE{\dfrac{4}{4}}\right)\\\\&=\dfrac{18}{24}+\dfrac{4}{24}\\\\&=\dfrac{22}{24}\\\\&=\dfrac{11}{12}\end{aligned}
注意,在使用24为公分母时. 你的计算会多一个步骤。数字更大而结果的分数也需要被简化.
在加减有理式时,如果你不使用最小公分母的话,同样的情况也会发生。
但是,利用有理式时,过程就要复杂多了,因为分子和分母都会是多项式而不是整数!所以你需要进行更高级多项式之间的计算以及分解因式。
通过使用最小公分母,在加减有理式的时候,这些多余的步骤是可以被避免的.