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主要内容

有理表达式的加减介绍

学会如何添加或减去两个有理表达式。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

一个有理表达式是两个多项式之间的商。例如,表达式x+2x+1就是一个有理表达式。
如果你对有理表达式还不熟悉,你可以看看有理表达式简介

本课内容

在本课中,你将会学到如何做有理式的加法和减法。

有理式的加减法 (在分母相同的情况下)

数字分数

我们可以跟在做分数加减法时一样地对有理式做加减法。
要加或减两个有共同分母的数值分数,我们只需要把两个分子相加或相减,然后再把结果写在共同分母上就可以了。
=4515=415=35

变量表达式

过程与有理式是一样的:
=7a+3a+2+2a1a+2=(7a+3)+(2a1)a+2=7a+3+2a1a+2=9a+2a+2
把分子放在括号内是很好的做法,特别是在减去有理表达式时。这样,我们就会记得要为括号内的每一个项都加上负号!
例如:
=b+1b24bb2=(b+1)(4b)b2=b+14+bb2=2b3b2

看看你的知识掌握地如何

问题1
相加。
x+5x1+2x3x1=

问题2
相减。
x+12x5x22x=

有理式的加减法(在分母不同的情况下)

数字分数

为了理解如何做分母不同的有理式的加减法,让我们首先来看看分母不同的数字分数是怎样进行加减法的。
例如,让我们来计算23+12的结果。
=23+12=23(22)+12(33)=46+36=76
注意,要相加两个分数,共同分母 6 是必要的:
  • 第一个分数中的分母 (3) 需要乘以 2
  • 第二个分数中的分母 (2) 则需要乘以 3
每个分数都被乘以1的一种形式以达到这个目的。

变量表达式

现在让我们来在这个例子中应用一下:
1x3+2x+5
要使两个分母相同,第一个分数需要乘以x+5,而第二个分数则需要乘以x3。让我们来对分数进行一些操作来达到这个目的。然后,我们就可以像往常一样相加了。
=1x3+2x+5=1x3(x+5x+5)+2x+5(x3x3)=1(x+5)(x3)(x+5)+2(x3)(x+5)(x3)=1(x+5)+2(x3)(x3)(x+5)=1x+5+2x6(x3)(x+5)=3x1(x3)(x+5)
注意,第一步之所以是允许的是因为x+5x+5x3x3 都等于1,而1的乘法又不会改变表达式的值!
在最后两步中,我们改写了分子。尽管你也可以展开分母中的(x3)(x+5),但以因式分解形式保留下来的做法是更加常见的。

看看你的知识掌握地如何

问题3
相加。
3x+4+2x2=

问题 4
相减。
2x15x=

下一步是什么?

我们的 下一篇文章 涵盖了更多更具挑战的有理数表达式加减法的例子。
你将会学到最小公分母,以及为什么在做有理式加减法时使用它来做共同分母非常重要。

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