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主要内容

有理表达式的加减介绍

学会如何添加或减去两个有理表达式。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

一个有理表达式是两个多项式之间的比例。例如,表达式start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction就是一个有理表达式。
如果你对有理表达式还不熟悉,你可能想要看看我们的有理表达式入门

本课内容

在本课中,你将会学到如何做有理式的加法和减法。

有理式的加减法 (在分母相同的情况下)

数字分数

我们可以跟在做分数加减法时一样地对有理式做加减法。
要加或减两个有共同分母的数值分数,我们只需要把两个分子相加或相减,然后再把结果写在共同分母上就可以了。
=4515=415=35\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD4}{\purpleC5}-\dfrac{\blueD1}{\purpleC5}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{4}-\blueD{1}}{\purpleC 5}\\ \\ &=\dfrac{3}{5} \end{aligned}

变量表达式

过程与有理式是一样的:
=7a+3a+2+2a1a+2=(7a+3)+(2a1)a+2相加=7a+3+2a1a+2去括号=9a+2a+2合并同类项\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD{7a+3}}{\purpleC{a+2}}+\dfrac{\blueD{2a-1}}{\purpleC{a+2}}\\\\\\ &=\dfrac{(\blueD{7a+3})+(\blueD{2a-1})}{\purpleC{a+2}}&&\small{\gray{\text{相加}}}\\ \\ &=\dfrac{{7a+3}+{2a-1}}{{a+2}}&&\small{\gray{\text{去括号}}}\\ \\ &=\dfrac{9a+2}{a+2}&&\small{\gray{\text{合并同类项}}} \end{aligned}
把分子放在括号内是很好的做法,特别是在减去有理表达式时。这样,我们就会记得要为括号内的每一个项都加上负号!
例如:
=b+1b24bb2=(b+1)(4b)b2相减=b+14+bb2去括号并给负号=2b3b2合并同类项\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD{b+1}}{\purpleC{b^2}}-\dfrac{\blueD{4-b}}{\purpleC{b^2}}\\\\\\ &=\dfrac{(\blueD{b+1})-(\blueD{4-b})}{\purpleC{b^2}}&&\small{\gray{\text{相减}}}\\ \\ &=\dfrac{b+1-4+b}{{b^2}}&&\small{\gray{\text{去括号并给负号}}}\\ \\ &=\dfrac{2b-3}{b^2}&&\small{\gray{\text{合并同类项}}} \end{aligned}

看看你的知识掌握地如何

1) start fraction, x, plus, 5, divided by, x, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, minus, 1, end fraction, equals

2) start fraction, x, plus, 1, divided by, 2, x, end fraction, minus, start fraction, 5, x, minus, 2, divided by, 2, x, end fraction, equals

有理式的加减法(在分母不同的情况下)

数字分数

为了理解如何做分母不同的有理式的加减法,让我们首先来看看分母不同的数字分数是怎样进行加减法的。
例如,让我们来计算start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction的结果。
=23+12=23(22)+12(33)制造共同分母=46+36=76\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD3}+\dfrac{1}{\tealD2}\\\\\\ &=\dfrac{2}{\blueD3} \left(\tealD{\dfrac{2}{2}}\right)+\dfrac{1}{\tealD2}\left( \blueD{\dfrac{3}{3}}\right)&&\small{\gray{\text{制造共同分母}}}\\ \\ &=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}\\ \\ &=\dfrac{7}{6} \end{aligned}
注意,为了相加两个分数,共同分母6 是必要的:
  • 第一个分数中的分母 left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, right parenthesis需要乘以start color #01a995, 2, end color #01a995
  • 第二个分数的分母left parenthesis, start color #01a995, 2, end color #01a995, right parenthesis则需要乘以start color #11accd, 3, end color #11accd
每个分数都被乘以了1的一种形式以达到这个目的。

变量表达式

现在让我们来在这个例子中应用一下:
start fraction, 1, divided by, start color #11accd, x, minus, 3, end color #11accd, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, start color #01a995, x, plus, 5, end color #01a995, end fraction
为使两个分母相同,第一个分数需要乘以start color #01a995, x, plus, 5, end color #01a995而第二个分数则需要乘以start color #11accd, x, minus, 3, end color #11accd。让我们来对分数进行一些操作来达到这个目的。然后,我们就可以像往常一样相加了。
=1x3+2x+5=1x3(x+5x+5)+2x+5(x3x3)制造共同分母=1(x+5)(x3)(x+5)+2(x3)(x+5)(x3)=1(x+5)+2(x3)(x3)(x+5)相加=1x+5+2x6(x3)(x+5)=3x1(x3)(x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{1}{\blueD{x-3}}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}}}\\\\\\ &=\dfrac{1}{\blueD{x-3}}{\left(\tealD{\dfrac{x+5}{x+5}}\right)}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}}{\left(\blueD{\dfrac{x-3}{x-3}}\right)}&&\small{\gray{\text{制造共同分母}}}\\\\\\ &=\dfrac{1(x+5)}{(x-3)(x+5)}+\dfrac{2(x-3)}{(x+5)(x-3)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{1(x+5)+2(x-3)}{(x-3)(x+5)}&&\small{\gray{\text{相加}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{1x+5+2x-6}{(x-3)(x+5)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3x-1}{(x-3)(x+5)} \end{aligned}
注意,第一步之所以是可能的是因为start fraction, x, plus, 5, divided by, x, plus, 5, end fractionstart fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 3, end fraction 等于1,而1的乘法又不会改变表达式的值!
在最后的两步中,我们简化了分母。尽管你也可以在分母中乘以left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesisleft parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis,将分解的形式保留下来的做法是更加常见的。

看看你的知识掌握地如何

3) start fraction, 3, divided by, x, plus, 4, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals

4) start fraction, 2, divided by, x, minus, 1, end fraction, minus, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, equals

下一步是什么?

我们的 下一篇文章 将会提到更多更具挑战性的关于有理式加减法的例子。
你将会学到最小公分母,以及为什么在做有理式加减法时使用它来做共同分母非常重要。