有理函数图 4

来画另一个有理函数的图形 因为您还没有做够练习 我们假设函数为 y等于x除以(x²-x-6) 首先我们要做的就是因式分解分母 我们就可以确定我们的垂直渐近线 如果存在的话 那么哪2个数的积 为负6，和为负1呢 这2个数符号相反 一个为正---我来把x轴 画得清楚一些 另一个数为负 2和3这2个数看起来比较接近 因为它们之间差1，并且大的数是负的 因为当这2个数相加，和为负的 那么(x-3)乘以(x+2）看起来可以 积也为负6 负3x加2x 负3乘以x加上2乘以x 和为负x，那么就对了 就等于x除以(x+2)乘以(x+3) 就像我们在上一个视频里看到 因为这些表达式，(x+2)不能与 分母的任何数相抵消，(x-3)也不能 与分子的任何数相抵消 我们可以用它们来找垂直渐近线 垂直渐近线就是当任何这个项或者 这个项等于0 因为在这些点上，我们的等式无法定义 当x等于负2的时候，这项为0 当x等于正3的时候这一项为0 您可以自己试试 如果x等于负2或者负3 分母就为0 y这个函数无定义 所以垂直渐近线在x轴就等于负2 所以这个就是垂直渐近线 就像这样 另一条垂直渐近线为x等于3 1，2，3 这是另一条垂直渐近线 现在再来想想水平渐近线 如果存在的话 当x变得无穷大 或者无穷小 就像我们之前说的 您只需看分子的最高次数项 和分母的最高次项 现在分母的最高次项 是x的平方，而分子的最高次项 就只是x 所以当x变得非常大的时候，情况会如果呢 您可以想象，当一百万 除以一百万的平方，还是1除以一百万 这些项在这里无关紧要 但是这一项却会 比其他任何数增长迅速 这是x的平方项 当x变大的时候 就会变得异常大，包括这上面的这一项 所以实际上就会变为0 当分母变得越来越大 超越分子的增长速度就会趋向0 所以我们有水平渐近线y=0 我可以在x轴上画成一条虚线 这就是这条线，y=0 再次强调，我们是用 最高次项来定义 分母的次数高 会比分子增长快 您可以用计算器试 不论您是往超大负数或者 是超大正数方向，都是正确的 这个数会大大超过这个数 分母增长速度会比分子快 最终我们会接近0 您会得到越来越小的分数 记住，1/10，然后--让我来再说明一下--- 当x变得越来越大的时候 会发生什么呢 我来给你看看在计算器上的结果 比如x等于10 10除以10的平方减10，一般来讲 您不需要做这个计算 我只是想给您直观的演示 哎呀 我还没有试着作图 我先暂停一下 如果10除以10的平方减10，再说一下 您不必做这个计算 我只是想给您直观演示 我把括弧加上 在这里加上括号 我在这里加一个括号 再在这里加一个括号 您得到一个很小的数 如果x变得特别大会怎么样呢 我们不选10，我们来选100 来把10变成100 用100来替换进去，我们得到什么呢 我们将得到一个更小的数 如果您再用1000去试 那么会得到一个更小的数 那是因为这个项 将比其他任何项增长得快 这就是为什么水平渐近线是y=0 现在要做的最后一件事情就是 在画出所有渐近线后，要来试试上面的一些点 我们来画一个表格 这就是这个表格 当x=0,y等于多少 x=0，0除以这些 0减6，0除以负6还是0 当x等于---我不知道，就假设当x等于 1，那么y等于多少 分子为1 1除以1的平方减1 等于0，分母为负6 当x等于负1，y等于多少 当x等于负1，分子为负1，除以 负1的平方得1减负1 就是加1，对了，减负1，再减6 那等于多少呢 这是负1，那么就等于负1除以 2减6就是除以负4 那就等于1/4，我们得到 一个正数 所以，我们有---让我画这个---负1 得到1/4 就像这样 我用深一点颜色来画 我们有点(0,0),当x=1， y等于负1/6 您可以画更多的点 但是当我们沿着垂直渐近线向右的时候 我们将向正的无穷大方向发展 这是合乎情理的 来看看，要是我们带数字进去 我们将从右边无限接近负2 比如我们把负1.9999999带进去 这个项就变成非常小的正数 这个项就要变成一个负数 这个项会是一个负数 负号抵消 您会看到分母是一个非常小的正数 1除以那个会是一个正数 现在，我们从左边 无限接近垂直渐近线 我的直觉告诉我，因为我用x=1来试 我已经得到一个负值 但是如果您能够想象如果您得到2.99999，对吧 我画得更好一些 您明白了 如果x等于2.999 我们就接近渐近线，这就会是正数 而这个就会变负数，那么这个就会是 很小的数 所以您就有1除以一个非常小的负数 那就会是一个非常大的负数 负1除以一个非常小的数 您就会接近负的无穷大 我们现在再来试试一些点 当x等于4的情况呢 当x等于4，就是4除以16减4减6 等于多少呢 就是16减10 等于6 这就等于4/6，也就是2/3 所以点（4，2/3）就在这里，1，2，3，4 2/3就在这里 这就给我们一点感觉，我将会渐进 到水平渐近线，随着我越走越外面 我们就会有可能 趋向正无穷 我来画整洁一点 像这样 您明白了吧 这边呢，我们会越来越接近 我们的水平渐近线，但我们趋向无穷 这将会是一个光滑的，一个弯曲 的曲线 我弄得有点糟糕 这应该是看起来更平滑的曲线 我想您明白了 现在来看当x等于负3的情况 当x等于负3，分子负3，除以分母 负3的平方等于9，再减去负3 就是加3再减6 那等于多少呢 分子负3除以，分母12减6等于6 那就是负3除以6，等于负1/2 所以这个点为（-3，-1/2） 负1/2在这里 那么我们将趋向这个渐近线 当我们变得越来越负数 我们可能得到一个向下走的图形 当我们趋向这个垂直渐近线的时候 如果您不相信我可以多试几个点 但是现在让我来画图验证 我们的等式是x除以x的平方减x减6 我们来画 就像这样 就像这样 看起来还不错 我们的渐近线为0，我们往下 垂直渐近线，好了！ 往上这样，然后再往下 然后我们再像这样所以 这个看起来就是我们想要的 很显然作图器 有点烦人，当您接近这些值的时候 做出奇怪的事情，但是它有同样的一般的图形 如果我们想的画，我们可以缩小一点范围 如果我们想来作图 我们来取最小的x的值，我们取5 我们再来取x的最大值 也取5 我们好像在缩小范围 现在来画 这样 那样 好了 这和我们刚才的图形形状一样 希望您觉得有趣