有理函数图 2

让我们再做几个图示 有理函数的例子 假设我们有y等于2x除以x+1 我们首先要做的就是能否找到 水平方向的渐近线 我之前说过，你只需要看 分子和分母最高次幂的项 这里的最高次幂的项，这里只有一项 就是2x 这里的最高此幂项时x 他们都是一次幂 所以你可以说，当x趋近于无穷大时，y 就会变成——随着x变成很大的值，这两项 就会占主导 这就不会很重要 所以我们的表达式，y大概就会 等于2x除以x，就是2 这对于x趋近于 负无穷也成立 所以当x变得很大或很小时，这个值 趋近于2 这一项就不重要了 所以我们画一下水平渐近线 就是y等于2 我们画一下 所以这就是我们的水平渐近线 y等于2，就在这里——我们写下来—— 水平渐近线 这就是我们的图像趋近，但 随着x越来越大或者越来越小 都不会触碰到 现在，我们有垂直渐近线么？ 当然有 当x等于-1，这个等式或者 方程是欠定义的 所以我们可以说当x等于-1时y无定义 这一定成立，因为x等于-1时 分母变成0 我们不知道1/0是什么 这没有定义 这就是一条垂直渐近线，因为 x不能抵消 x加1——不好意思——不能和 其他东西抵消 我来给你快速举个例子 假设我有一个等式y等于x加 1除以x加1 这个情况下，你可能会说 x等于-1时，图像没有定义 你是正确的，因为如果你把-1放这 分母就变成了0 分子其实也变成了0 你得到了0除以0 这没有定义 但正如你所见一样，如果你假设x不等于 负1，如果你假设这项和那项不等于 零，你可以把分子和分母同除以 x+1，或者你可以说，那项 除以那项，如果是自己除以 自己，等于1 你可以说当x不等于-1或这几项 不为零时，这等于1 当x等于-1时，这是0/0 我们不知道这是什么 在这个情况下，你将 没有垂直渐近线 所以这个图就没有垂直渐近线 实际上，你可能对这幅图长 什么样感兴趣 我在旁边给你画一下 这附图，如果我需要在这画出来 这可能的情况是，再x不等于-1时， y等于1 这个情况下，这将使y在 除-1时都等于1 y等于-1时没有定义 我们在这有个空洞 我们画一个圈，一点点 剪掉的洞，表示在x等于-1时我们 不知道y的值 所以这看上去就像这样 看上去和那条水平线很像 没有垂直渐近线 这是因为当它们不为0，也就是 x不为-1时，这项和那项 互相抵消 当你寻找垂直渐近线的时候——让我 澄清一下 当你寻找垂直渐近线时，你希望 确保这个表达式不会和 分子上的项互相抵消 而这个不符合这个情况 现在的情况是 你找不到垂直渐近线 在这个情况下，你不能抵消，所以 你能找到垂直渐近线 x等于负1是这幅图的一条 垂直渐近线 所以x等于-1——让我把垂直平分线 画出来——看上去像这样 然后，要补全理解这幅图的话，我们需要 尝试几个值 所以x等于0时会发生什么？ 所以当x等于0时，我们有2乘以0，也就是 0除以0+1 也就是0/1，等于0 所以点0，0在曲线上 当x等于1时会发生什么？ 我们有2乘以1，也就是2除以1+1 就是2/2 就是1，1也在我们曲线上 所以在我们曲线上 我们可以继续画点，但曲线会长成 这个样子 它像要接近负无穷 当它从右边趋近于垂直渐近线的时候 当你顺着这条路到负无穷 当它从负值向正方向走时 会趋近水平渐近线 所以看上去回像这样 然后，当x等于—— 让我用深色来写 我准备用红色 当x等于-2时会发生什么？ 我们有-2乘以2，得-4 然后我们有负——所以这就是-4 除以-2+1，也就是-1 就是4 所以这就是-2，4 所以-2——1，2，3，4 -2，4在我们得线上 那么——我们再多画一个点 -3怎么样？ 点-3在分子上，我们将用 2乘以-3，就是-6除以-3 加1，也就是-2 -6除以-2得正3 所以-3，3 1，2，3 1，2，3 这也在点上 所以图会看上去这样 当我们趋近于负无穷，我们就 从上方趋近于水平渐近线 当我们趋近于-1，x等于-1时 我们会向上趋近于正无穷 让我们再验证一下这是 方程得图像 让我们拿出图像计算器 我们定义一下y等于2x除以x+1等于 ——删掉这些——我们想要画出来 完成 看上去和我们画的一样 这个垂直渐近线连着点，但我们 知道在那里没有定义 它只是尝试连接极大值 到最底下 因为它只是为了——所有的图像计算器 做的就是列一个很详细得表 然后把点连起来 它不知道这是渐近线 所以直接连接了点 但这里应该是不连接得 希望你觉得这个例子有用